From 82b9e69af7ad02a2516623d55400039297d94aee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Tue, 29 Apr 2014 15:26:38 +0200 Subject: Chevalley's theorem: the image is constructible, not necessarily locally closed. --- notes-geoalg-2010.tex | 9 +++++---- notes-geoalg-2011.tex | 11 ++++++----- notes-geoalg-2012.tex | 11 ++++++----- 3 files changed, 17 insertions(+), 14 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg-2010.tex b/notes-geoalg-2010.tex index 3611325..3527f68 100644 --- a/notes-geoalg-2010.tex +++ b/notes-geoalg-2010.tex @@ -2804,10 +2804,11 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? \begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley} \begin{itemize} \item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété - quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant : - il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé - dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$) - telle que $Y'(k)$ soit l'ensemble des $y \in Y(k)$ pour lesquels il + quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant : + il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un + ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est + une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in + Y(k)$, on ait $\exists i (y \in Y'_i(k))$ si et seulement si il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$. \item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$. diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index f6c8f1d..a6c5fc1 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -1847,11 +1847,12 @@ points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ? \begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley} \begin{itemize} \item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété - quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant : - il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé - dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$) - telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour - lequel $f(x) = y$. + quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant : + il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un + ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est + une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in Y$, + on ait $\exists i (y \in Y'_i)$ si et seulement si il existe $x \in + X$ pour lequel $f(x) = y$. \item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$. \end{itemize} diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex index 4e8ae38..3f3d072 100644 --- a/notes-geoalg-2012.tex +++ b/notes-geoalg-2012.tex @@ -2180,11 +2180,12 @@ points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ? \begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley} \begin{itemize} \item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété - quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant : - il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé - dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$) - telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour - lequel $f(x) = y$. + quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant : + il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un + ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est + une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in Y$, + on ait $\exists i (y \in Y'_i)$ si et seulement si il existe $x \in + X$ pour lequel $f(x) = y$. \item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$. \end{itemize} -- cgit v1.2.3