From 9fef7b91bfc29698b422293a89bbf5f0dfcb3169 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 23 May 2010 18:57:51 +0200 Subject: Introduction to gluing. --- notes-geoalg.tex | 111 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 105 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 44441be..c05a9d6 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1392,9 +1392,9 @@ $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} -(un ensemble d'ouverts est dit former une base d'ouverts pour une -topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille -d'entre eux). +(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former +une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une +réunion d'une sous-famille d'entre eux). \begin{prop}\label{recouvrement-par-ouverts-principaux} Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$ @@ -1675,9 +1675,13 @@ De ce principe découlent : \begin{defn} Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, l'anneau des fonctions régulières sur $D(f)$ sera par définition -$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble -$D(f)(A)$ des $A$-points de $D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ -formé des $x \in X(A)$ tels que $f(x) \in A$ soit inversible. +$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. La \textbf{restriction} $h|_{D(f)}$ +d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$ sera par +définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. + +Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de +$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que +$f(x) \in A$ soit inversible. Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et $Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera @@ -1708,6 +1712,101 @@ morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée ! +% +\subsection{Introduction au recollement} + +La proposition suivante peut paraître innocente, mais elle est +fondamentale : + +\begin{prop} +Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$ +(c'est-à-dire, cf. \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux}, que les +$f_i \in \mathcal{O}(X)$, qu'on pourra toujours supposer en nombre +fini, engendrent l'idéal unité), alors : +\begin{enumerate} +\item si une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ a une + restriction $h|_{D(f_i)}$ nulle sur chacun des $D(f_i)$ alors $h$ + est nulle, +\item donnée une fonction régulière $h_i \in \mathcal{O}(D(f_i)) = + \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f_i}]$ pour chaque $i$, telles que + $h_i|_{D(f_i)\cap D(f_j)} = h_j|_{D(f_i)\cap D(f_j)}$ pour + chaque $i,j$ (autrement dit, les $h_i$ coïncident sur leurs + intersections ; on rappelle que $D(f_i) \cap D(f_j) = D(f_i f_j)$), + il existe une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$, + nécessairement unique d'après le point précédent, telle que + $h|_{D(f_i)} = h_i$ pour tout $i$. +\end{enumerate} +\end{prop} + +En clair : pour se donner une fonction régulière sur $X$, il suffit de +se donner sa restriction à des ouverts principaux $D(f_i)$ +recouvrant $X$, et pour que de telles restrictions définissent bien +une fonction régulière sur tout $X$, c'est-à-dire « se recollent », il +suffit (comme il faut !) qu'elles soient cohérentes sur les +intersections de deux d'entre eux. On traduit ce fait en disant que +la donnée des $\mathcal{O}(D(f))$ (y compris $\mathcal{O}(X)$ +lui-même) et des morphismes de restrictions entre eux forme un +\textbf{faisceau} (sur la base d'ouverts formée des ouverts +principaux). + +Ceci est la conséquence (reformulation) du résultat purement +algébrique suivant : +\begin{prop} +Soit $R$ un anneau et $f_i \in R$ des éléments engendrant l'idéal +unité. Alors : +\begin{enumerate} +\item si $h \in R$ a une image $\iota_i(h)$ nulle dans chaque + $R[\frac{1}{f_i}]$ alors $h$ est nul, +\item donnée un élément $h_i \in R[\frac{1}{f_i}]$ pour chaque $i$, + tels que $\iota_{i,j}(h_i) = \iota_{j,i}(h_j) \in R[\frac{1}{f_i + f_j}]$ pour chaque $i,j$ (où on identifie tacitement + $R[\frac{1}{f_i f_j}]$ à $R[\frac{1}{f_i}][\frac{1}{f_j}]$ et + $R[\frac{1}{f_j}][\frac{1}{f_i}]$), il existe un unique $h \in R$, + nécessairement unique d'après le point précédent, tel que + $\iota_i(h) = h_i \in R[\frac{1}{f_i}]$ pour tout $i$. +\end{enumerate} +\end{prop} +\begin{proof}[Démonstration du premier point] +Mettons $\sum g_i f_i = 1$ : on oublie tous les $f_i$ sauf le nombre +fini d'entre eux qui intervient vraiment dans cette somme. Dire que +$h$ a une image nulle dans $R[\frac{1}{f_i}]$ signifie qu'il existe +$N_i$ entier assez grand tel que $f_i^{N_i} h = 0$ ; en élevant +l'équation $\sum g_i f_i$ à une puissance $N$ assez grande (par +exemple $\sum N_i$), on peut s'arranger pour que chaque terme du +développement fasse intervenir un certain $f_i$ à la puissance $N_i$ +au moins. Ceci montre $(\sum g_i f_i)^N\, h = 0$. Or $(\sum g_i +f_i)^N = 1$, donc $h = 0$. +\end{proof} +\begin{proof}[Esquisse de démonstration du second point] +On écrit $h_i = \frac{p_i}{f_i^{N_i}}$, et de nouveau, en élevant +$\sum g_i f_i = 1$ à une puissance $N$ assez grande on peut s'arranger +pour que chaque terme $t_{\cdots} = c_{\cdots} \prod_i f_i^{n_i}$ +fasse intervenir un des $f_i$ à une puissance $n_i$ au moins égale +à $N_i$ ; on appelle $h$ la somme des $c_{\cdots} p_i f_i^{n_i-N_i} +\prod_{j\neq i} f_j^{n_j}$ où le facteur $f_i^{N_i}$ correspondant a +été remplacé par $p_i$ (ce qui vaut donc $t_{\cdots} h_i$ dans +$R[\frac{1}{f_i}]$ --- on peut donc vérifier que $\iota_i(h) = h_i$). +\end{proof} + +On peut de même fabriquer des morphismes par recollement : +\begin{cor} +Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$, +alors se donner un morphisme $X \to Y$, pour $Y$ une variété +algébrique affine quelconque, équivaut à se donner des morphismes +$D(f_i) \to Y$ pour chaque $f_i$, qui coïncident sur les intersections +$D(f_i) \cap D(f_j)$ (pour chaque $i,j$). +\end{cor} + +Ceci est la clé pour définir les variétés algébriques non +nécessairement affines, selon le principe général vague suivant : +\begin{princ} +Une variété algébrique non nécessairement affine $X$ est obtenue en +« recollant » des variétés algébriques affines $X_i$ ; une fonction +régulière sur $X$ est la donnée d'une fonction régulière sur chaque +$X_i$ qui coïncident aux intersections. +\end{princ} + + % % % -- cgit v1.2.3