From a221524f50a3dd5f5f378877f544b1a49df1e027 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 10 May 2011 13:28:42 +0200
Subject: Projective space (start).

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 notes-geoalg-2011.tex | 157 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -1121,6 +1121,163 @@ isomorphisme (de façon équivalente, lorsque $U$ est isomorphe à une
 variété algébrique affine telle qu'on l'a définie précédemment).
 
 
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+%
+%
+
+\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives}
+
+\subsection{L'espace projectif sur un corps}
+
+Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ (ou juste
+$\mathbb{P}^d$ si $k$ est algébriquement clos et sous-entendu)
+l'ensemble des $(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$
+modulo la relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim
+(x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et
+$(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont colinéaires.  On note $(x_0:\cdots:x_d)$
+(certains auteurs préfèrent $[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de
+$(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette relation d'équivalence.  On peut voir
+$\mathbb{P}^d(k)$ comme l'ensemble des droites vectorielles (=passant
+par l'origine) de $k^{d+1}$.
+
+Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d(k)$, selon
+que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme
+$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien
+$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls).  Le point
+$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point
+$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la
+forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et
+collectivement, « hyperplan à l'infini »).  On peut donc écrire
+$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion
+disjointe de l'ensemble $Z(x_0)(k)$ des points où $x_0 \neq 0$ et de
+celui $D(x_0)(k)$ des points où $x_0 = 0$) ; moralement, on aura envie
+que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert dans $\mathbb{P}^d$ et
+$\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire.  Noter que le choix de
+$x_0$ est arbitraire : on peut voir $\mathbb{P}^d$ comme réunion de
+$d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$ (à savoir
+$D(x_0),\ldots,D(x_d)$).
+
+%
+\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$,
+  Nullstellensatz projectif}
+
+On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins
+pour $k$ algébriquement clos pour le moment).  Il faudra une notion
+d'ouverts et une notion de fonctions régulières.
+
+On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de
+  degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le
+même degré total $\ell$.  L'intérêt de cette remarque est que si
+$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in
+k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$
+ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de
+$(x_0:\cdots:x_d)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d)
+\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ et $D(f)$ son
+complémentaire.
+
+On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f
+\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré
+total $\ell$.  Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties
+homogènes.  Le produit de deux polynômes homogènes de degrés
+respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$.
+
+On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène}
+lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne
+signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes
+homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit
+constitué de polynômes homogènes).  De façon équivalente, il s'agit
+d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$
+est encore dans $I$.  (Démonstration de l'équivalence : si toute
+partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en
+prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties
+homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore
+génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$
+admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si
+$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés
+$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i
+g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$
+de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où
+$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré
+$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.)
+
+(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque
+$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé
+\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un
+\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties.  L'ensemble $Z(I)$
+défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites
+vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.)
+
+Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$
+comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement,
+d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant
+un ensemble de générateurs homogènes de $I$.  Les $Z(I)$ s'appellent
+les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$.  Inversement, si $E$ est
+une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal
+(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$
+s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq
+E$).
+
+\begin{thm}
+Si $k$ est un corps algébriquement clos :
+\begin{itemize}
+\item (Nullstellensatz faible projectif.)  Pour $I$ un idéal homogène
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans
+  $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$
+  contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$
+  (et, par conséquent, de tout degré plus grand).  Un tel idéal
+  s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme].
+\item (Nullstellensatz projectif.)  Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et
+  $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques,
+  décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et
+  les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part.
+\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes
+  premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles
+  de $\mathbb{P}^d$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+\begin{rmk}
+Pour qu'un idéal homogène $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ contienne tous
+les monômes à partir d'un certain degré total $\ell$ (c'est-à-dire,
+qu'il soit irrelevant), il faut et il suffit qu'il contienne tous les
+$t_i^n$ à partir d'un certain $n$.  (En effet, un sens est trivial, et
+pour l'autre sens, si $I$ contient tous les $t_i^n$, alors il contient
+tout monôme de degré $(d+1)n$, puisqu'un tel monôme contient au moins
+un $t_i$ à la puissance $n$.)  Comme il n'y a qu'un nombre fini des
+$t_i$, on peut aussi intervertir les quantificateurs : c'est encore la
+même chose que de dire que pour chaque $i$, l'idéal $I$ contient une
+certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$.
+\end{rmk}
+
+\smallbreak
+
+Les ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$ sont bien sûr, par
+définition, les complémentaires $U(I)$ des fermés de Zariski $Z(I)$.
+Ils peuvent toujours s'écrire de la forme $D(f_1) \cup \cdots \cup
+D(f_r)$ où $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en
+$t_0,\ldots,t_d$.
+
+
+%
+\subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif}
+
+On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace
+affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$).  On sait
+quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes
+sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme
+$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$.  De façon équivalente, il
+s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec
+$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$.  Plus
+généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$
+dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme
+les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$
+homogène de degré $rD$ (ce qui assure que (1) l'évaluation d'une telle
+fonction sur un élément de $\mathbb{P}^d(k)$ a un sens lorsque cet
+élément appartient à $D(f)$, et (2) elle ne dépend pas du représentant
+choisi).
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