From b4d5a07747fb78a1949452e054beebdbec76d555 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 4 Jun 2010 14:53:07 +0200 Subject: Some more explanations on the rational cubic in P^3. --- notes-geoalg.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 60 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index baa3ebd..d0f1423 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1136,7 +1136,7 @@ fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$. \end{rmk} % -\subsection{Morphismes de variétés algébriques} +\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{morphismes-varietes-algebriques-affines} On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine} dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski @@ -2933,6 +2933,65 @@ reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible que prend la matrice des dérivés partielles). +\medbreak + +\textbf{Un exemple : la cubique gauche.} On reprend l'exemple étudié +à plusieurs reprises de la cubique gauche, la variété $C$ définie dans +$\mathbb{P}^3$ par $t_0 t_2 = t_1^2$, $t_1 t_3 = t_2^2$ et $t_0 t_3 = +t_1 t_2$. Sur l'ouvert affine $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$, ses équations +deviennent (en posant $\tau_1 = t_1/t_0$, $\tau_2 = t_2/t_0$ et +$\tau_3 = t_3/t_0$) : $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$ +(l'équation $\tau_1 \tau_3 = \tau_2^2$ est redondante) ; on peut en +conclure que la dimension de cet ouvert affine $C \cap D(t_0)$ est au +moins $3-2 = 1$, en fait il est visiblement isomorphe à $\mathbb{A}^1$ +via le morphisme $\tau \mapsto (\tau,\tau^2,\tau^3)$ considéré dans la +section \ref{morphismes-varietes-algebriques-affines}. (Attention, on +ne peut pas conclure directement que la dimension de $C$ est $3$ à +moins de donner une explication du fait que $C$ est irréductible.) +Par symétrie des variables (remplacer $t_i$ par $t_{3-i}$ partout +conserve les mêmes équations), on peut aussi conclure que $C \cap +D(t_3)$ est de dimension $1$ (et isomorphe à $\mathbb{A}^1$). +Remarquons par ailleurs que « si $t_0=0$ et $t_3=0$ alors $t_1=0$ et + $t_2=0$ aussi d'après les équations de $C$, ce qui n'est pas + possible » (plus précisément, l'idéal engendré par $t_0$ et $t_3$ et +les équations de $C$ contient aussi $t_1^2$ et $t_2^2$, c'est donc un +idéal irrelevant), ce qui permet de dire que les ovuerts $D(t_0)$ et +$D(t_3)$ recouvrent $C$. Donc $C$ est bien de dimension $1$. +S'agissant de la lissité, le fait que $C \cap D(t_0)$ et $C\cap +D(t_3)$ soient isomorphes à $\mathbb{A}^1$ permet de conclure (car +$\mathbb{A}^1$ est lisse), mais on peut vouloir le voir sur les +équations : sur $C \cap D(t_0)$, les dérivées partielles des deux +équations $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$ sont $(2\tau_1, +1, 0)$ et $(3\tau_1^2, 0, 1)$, donc linéairement indépendantes, ce qui +assure que tout cet ouvert est lisse, et par symétrie des coordonnées, +c'est aussi le cas pour $C \cap D(t_3)$. On a donc bien affaire à une +courbe (=variété (irréductible ?) de dimension $1$) lisse +dans $\mathbb{P}^3$. + +Soit dit en passant, on ne peut pas omettre une des trois équations +utilisées pour définir $C$ : si on omet $t_0 t_2 = t_1^2$, la variété +ainsi obtenue contiendra toute la droite $\{(t_0:t_1:0:0)\}$ +d'équation $t_2=t_3=0$ (par exemple le point $(1:1:0:0)$), qui n'est +pas dans $C$, si on omet $t_1 t_3 = t_2^2$ de même (par symétrie) avec +la droite $\{(0:0:t_2:t_3)\}$ d'équation $t_0=t_1=0$ ; et si on omet +$t_0 t_3 = t_1 t_2$, la variété contient toute la droite +$\{(t_0:0:0:t_3)\}$ d'équation $t_1=t_2=0$ (par exemple le point +$(1:0:0:1)$). Il n'est en fait pas possible de définir $C$ avec +seulement deux équations qui engendrent un idéal radical : en effet, +premièrement, le polynôme de Hilbert-Samuel de $C$ vaut $3\ell+1$ (car +il est facile de voir que les équations de $C$ réduisent deux monômes +$t_0^{d_0} t_1^{d_1} t_2^{d_2} t_3^{d_3}$ exactement lorsqu'ils ont le +même degré total $d_0+d_1+d_2+d_3$ et le même « degré sur $C$ », $d_1 ++ 2d_2 + 3d_3$, donc on est ramené à compter les valeurs possibles de +$d_1 + 2d_2 + 3d_3$ connaissant $d_0+d_1+d_2+d_3 = \ell$, et ce sont +tous les entiers entre $0$ et $3\ell$ inclus) ; ceci confirme que la +dimension de $C$ est $1$ mais aussi que son degré (au sens donné par +le coefficient dominant du polynôme de Hilbert-Samuel) vaut $3$ : si +$C$ était définie par deux équations $\mathfrak{I}(C) = (f_1,f_2)$, +donc en intersection complète, on aurait $\deg f_1 \cdot \deg f_2 = +3$, ce qui impose soit $\deg f_1 = 1$ soit $\deg f_2 = 3$, donc $C$ +serait une courbe plane, ce qui n'est visiblement pas le cas. + % -- cgit v1.2.3