From bbc09df21b213f0ceb75aeb035259e7c3153797b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 4 Jun 2010 16:02:02 +0200
Subject: Differential and smoothness of morphisms.

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index b966a9d..f9aa9a6 100644
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@@ -3023,6 +3023,43 @@ donc en intersection complète, on aurait $\deg f_1 \cdot \deg f_2 =
 3$, ce qui impose soit $\deg f_1 = 1$ soit $\deg f_2 = 3$, donc $C$
 serait une courbe plane, ce qui n'est visiblement pas le cas.
 
+\medbreak
+
+\textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un
+morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement
+clos $k$ et $x \in X(k)$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to
+T_{h(x)} Y$ qui est définie formellement par $h(k[\varepsilon]) \colon
+X(k[\varepsilon]) \to Y(k[\varepsilon])$ et plus concrètement, si
+localement $X$ est défini par des équations $f_1=\cdots=f_r = 0$
+dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des
+$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d v_j \frac{\partial f_i}{\partial
+  t_j}(x_1,\ldots,x_d) = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$
+dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des
+$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial
+  u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$), et le morphisme $h$ par des polynômes
+$(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$) envoyant
+$(x_1,\ldots,x_d)$ sur $(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100
+h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors $dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur
+$(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i = \sum_{j=1}^d v_j\frac{\partial
+  h_i}{\partial t_j}$ (et la condition souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j
+\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une
+conséquence de la formule des dérivées composées appliquée à
+$g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a $\sum_{j=1}^e \frac{\partial
+  g_i}{\partial u_j} \frac{\partial h_j}{\partial t_l} = 0$).  Cette
+application $dh_x$ est linéaire (pour chaque $x$ donné) : on l'appelle
+différentielle du morphisme $h$ au point $x$.
+
+\textbf{Lissité des morphismes.}  On ne définira le concept de
+morphisme lisse entre variétés quasiprojectives $X \to Y$ que lorsque
+$Y$ elle-même est lisse.  Plus exactement, on dit qu'un morphisme $X
+\buildrel h\over\to Y$ est \emph{lisse} en un point $x \in X$ tel que
+$Y$ soit lisse en $h(x)$, lorsque $dh_x \colon T_x X \to T_{h(x)} Y$
+est \emph{surjective}.  On dit qu'un morphisme $X \to Y$, avec $Y$
+lisse, est lisse (partout) lorsque la différentielle est surjective en
+tout point.  Une conséquence importante de la lissité de $h$ est que
+la fibre $h^{-1}(y)$ est elle-même lisse (en tant que variété, un
+fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$.
+
 
 
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