From e53ee652e27f4e4ab10d4401434042e9a2e622f8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 1 Jun 2010 01:56:56 +0200
Subject: Hilbert-Samuel polynomial.

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@@ -2535,6 +2535,51 @@ nouveau, on peut vérifier que la composée dans les deux sens est
 l'identité.
 
 
+%
+\subsection{Le polynôme de Hilbert-Samuel}
+
+\begin{thm}
+Soit $X$ une variété projective dans $\mathbb{P}^d$ (sur un
+corps $k$).  Alors pour tout $\ell\in\mathbb{Z}$, le $k$-espace
+vectoriel $\mathcal{O}(\ell)(X)$, également noté
+$H^0(X,\mathcal{O}(\ell))$, des sections globales de
+$\mathcal{O}(\ell)$ sur $X$, est de dimension finie.  Pour $\ell$
+assez grand, il s'identifie à l'espace des éléments de degré $\ell$ de
+$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ si $I = \mathfrak{I}(X)$.  Pour $\ell$ assez
+grand, sa dimension est une fonction \emph{polynomiale} de $\ell$ : on
+appelle \textbf{polynôme de Hilbert-Samuel} de $X$
+(dans $\mathbb{P}^d$) le polynôme auquel elle est égale pour $\ell$
+assez grand.
+\end{thm}
+
+Le terme dominant du polynôme de Hilbert-Samuel est très
+significatif : son degré $d$ sera la \emph{dimension} de $X$ (ceci
+peut servir de définition pour $X$ projectif), et le coefficient
+devant $\ell^d$ est de la forme $\frac{n_X}{\ell!}$ où $n_X$ est un
+entier, appelé \emph{degré} de $X$.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Exemple :} Pour $\mathbb{P}^d$, l'espace $H^0(\mathbb{P}^d,
+\mathcal{O}(\ell))$ est l'espace vectoriel des polynômes de
+degré $\ell$ en $d+1$ indéterminées.  Pour $\ell\geq 0$, sa dimension
+vaut
+\[
+\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!}
+\]
+C'est un polynôme de degré $d$ de $\ell$ (donc le polynôme de
+Hilbert-Samuel de $\mathbb{P}^d$), dont le terme dominant vaut
+$\frac{1}{d!}\ell^d$.
+
+Pour le cercle $Z(x^2+y^2-z^2)$ dans $\mathbb{P}^2$, les polynômes de
+degré $\ell$ en $x,y,z$ modulo $z^2$ peuvent se réduire en un polynôme
+de degré $\ell$ en $x,y$, plus $z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$
+en $x,y$ : leur dimension est donc $2\ell+1$ (une base est donnée par
+$x^\ell,\penalty100 x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100
+x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$),
+donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$.
+
+
 
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