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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 3 May 2012 17:05:13 +0200
Subject: More on the projective Nullstellensatz, and the Hilbert-Samuel
 function.

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 notes-geoalg-2012.tex | 79 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
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@@ -1451,9 +1451,12 @@ Si $k$ est un corps algébriquement clos :
   décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
   de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et
   les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part.
-\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes
+\item Ces bijections mettent en correspondance les idéaux homogènes
   premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles
   de $\mathbb{P}^d$.
+\item Si $I$ est un idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$ tel que
+  $Z(I) \neq \varnothing$ (i.e., qui n'est pas irrelevant) alors
+  $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le radical de $I$).
 \end{itemize}
 \end{thm}
 
@@ -2041,6 +2044,75 @@ de plus :
 \end{itemize}
 \end{thm}
 
+\medbreak
+
+Voici enfin un résultat qui permet, notamment avec les outils de la
+section \ref{section-groebner-bases} (bases de Gröbner), de rendre
+algorithmique le calcul des dimensions :
+
+\begin{thm}
+\begin{itemize}
+\item\textbf{Variante projective :} Soit $I$ un idéal homogène de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$.  La fonction « de Hilbert-Samuel » qui à $\ell
+  \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace
+  vectoriel) $\dim_k k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}/I^{[\ell]} =
+  \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des
+  polynômes homogènes de degré $\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide
+  avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel ») pour $\ell$ suffisamment
+  grand : le degré de ce polynôme est exactement la dimension de la
+  variété $Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ définie par l'idéal $I$ (et en
+  particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel de $I$ et $\surd I$ ont
+  même degré).
+
+De plus, en anticipant sur les définitions de la
+section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre
+admissible $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel de $I$ coïncide
+avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de monômes
+de degré $\ell$ qui n'appartiennent pas à $\init_{\preceq}(I)$.  (Ceci
+permet de la calculer à partir d'une base de Gröbner de $I$.)
+
+\item\textbf{Variante affine :} Soit $I$ un idéal de
+  $k[t_1,\ldots,t_d]$.  La fonction « de Hilbert-Samuel affine » qui à
+  $\ell \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace
+  vectoriel) $\dim_k k[t_1,\ldots,t_d]^{[\leq\ell]}/I^{[\leq\ell]} =
+  \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des
+  polynômes de degré total $\leq\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide
+  avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel affine ») pour $\ell$
+  suffisamment grand : le degré de ce polynôme est exactement la
+  dimension de la variété $Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ définie par
+  l'idéal $I$ (et en particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel
+  affine de $I$ et $\surd I$ ont même degré).
+
+De plus, en anticipant sur les définitions de la
+section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre admissible
+\emph{gradué} $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$
+coïncide avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de
+monômes de degré $\leq\ell$ qui n'appartiennent pas
+à $\init_{\preceq}(I)$.  (Ceci permet de la calculer à partir d'une
+base de Gröbner de $I$.)
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+\textbf{Exemple :} Pour $\mathbb{P}^d$ (i.e., pour $I$ l'idéal nul),
+le $k$-espace vectoriel $k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}$ des polynômes
+homogènes de degré $\ell$ en $d+1$ indéterminées a pour base les
+monômes de degré (total) $\ell$, qui sont au nombre de
+$\frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!}$.  C'est là la fonction de Hilbert-Samuel
+de $\mathbb{P}^d$ (c'est aussi la fonction de Hilbert-Samuel affine de
+$\mathbb{A}^d$), et son terme dominant vaut $\frac{1}{d!}\,\ell^d$, ce
+qui est cohérent avec le fait que $\mathbb{P}^d$ (ou $\mathbb{A}^d$)
+est de dimension $d$.
+
+Si on considère maintenant le cercle $C^+ = Z(x^2+y^2-z^2)$
+dans $\mathbb{P}^2$, les polynômes de degré $\ell$ en $x,y,z$ modulo
+$z^2$ peuvent se réduire en un polynôme de degré $\ell$ en $x,y$, plus
+$z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$ en $x,y$ : leur dimension est
+donc $2\ell+1$ (une base est donnée par $x^\ell,\penalty100
+x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100
+x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$),
+donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$.  On voit ici que le
+cercle est de dimension $1$.
+
 
 %
 \subsection{L'image d'un morphisme}\label{image-of-a-morphism}
@@ -2234,7 +2306,7 @@ fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$.
 %
 %
 
-\section{Introduction aux bases de Gröbner}
+\section{Introduction aux bases de Gröbner}\label{section-groebner-bases}
 
 (À part pour la proposition \ref{projection-by-elimination}, toute
 cette partie ne dépend que de la partie \ref{commutative-algebra} et
@@ -2308,6 +2380,9 @@ $\preceq$ sur les monômes de ce dernier telle que :
 sont deux termes, pour signifier que leurs monômes vérifient $s
 \preceq s'$.)
 
+Si de plus l'ordre vérifie la propriété que $\deg s < \deg s'$
+implique $s \preceq s'$, on dit qu'il est \textbf{gradué}.
+
 \begin{prop}\label{properties-of-admissible-orders}
 Si $\preceq$ est un ordre admissible sur les monômes de
 $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors
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cgit v1.2.3