From ea7273874c5c8c1072b61f55f2922053870753c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 19 Jun 2010 04:28:50 +0200
Subject: Fix the end, using normalization.

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 controle-2010.tex | 127 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
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@@ -72,8 +72,8 @@ caractéristique $\neq 2,3$ (on pourra, si on le souhaite, supposer
 qu'il s'agit par exemple de $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
 ou $\mathbb{C}$, cela n'aura pas d'incidence sur les questions).
 
-\emph{La question 3 peut être traitée indépendamment des questions
-  précédentes.}
+\emph{Les questions 3 et 4 peuvent être traitée indépendamment des
+  questions 1 et 2.}
 
 \textbf{1.} Dans l'anneau $k[x,y,z]$ des polynômes à trois
 indéterminées sur $k$, on considère l'ordre lexicographique pur
@@ -214,8 +214,8 @@ $y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$.
 $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y
 = Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$
 (« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$.  Quelles sont
-les coordonnées du point $\infty$ d'intersection de $C^+$ et la droite
-« à l'infini » $T=0$ ?
+les coordonnées du point (qu'on notera $\infty_C$) d'intersection de
+$C^+$ et la droite « à l'infini » $T=0$ ?
 
 \begin{corrige}
 L'équation de $C^+$ s'obtient en homogénéisant celle de $C$, soit $T^2
@@ -258,7 +258,7 @@ racines carrées de $-3$ dans $k^{\alg}$).
 
 \smallbreak
 
-(d) Montrer que $C$ est lisse.  La courbe $C^+$ l'est-elle aussi ?
+(d) Montrer que $C$ est lisse ; $C^+$ l'est-elle aussi ?
 
 \begin{corrige}
 Un point non-lisse de $C$ devrait être une solution (dans $k^{\alg}$)
@@ -268,7 +268,7 @@ de $\frac{\partial f_4}{\partial y} = 0$, soit $f_4 = 0$ et $x^3 + x =
 $h'(x) = 0$ (où $h = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a
 été introduit à la question précédente), et on a vu que $h$ n'a pas de
 racine multiple, c'est-à-dire précisément qu'il n'a pas de racine
-commune avec $h'$.  La courbe $C$ est donc lisse.
+commune avec $h'$.  La variété $C$ est donc lisse.
 
 En revanche, au point $(T:X:Y) = (0:0:1)$, toutes les dérivées
 partielles de l'équation $T^2 Y^2 + \frac{1}{4}X^4 + \frac{1}{2}T^2
@@ -282,11 +282,120 @@ fois l'équation et ses deux dérivées partielles par rapport à $\tau$
 et $\xi$ s'annulent simultanément en $(\tau,\xi) = (0,0)$.)
 \end{corrige}
 
+\medbreak
+
+\textbf{4.} Pour les questions qui suivent, on \emph{rappelle} les
+faits suivants : il existe une courbe (projective, lisse) $\tilde C$,
+unique à isomorphisme près, appelée « normalisée de $C^+$ », munie
+d'un morphisme $\nu\colon \tilde C \to C^+$, de sorte que les corps
+des fonctions $k(C) = k(C^+)$ et $k(\tilde C)$ coïncident
+(via $\nu^*$) ; de plus, $\nu$ est un isomorphisme entre l'ouvert
+$\nu^{-1}(C)$ de $\tilde C$ et $C$.  On \emph{admet} de plus le fait
+suivant : il existe exactement deux $k^{\alg}$-points de $\tilde C$
+envoyés par $\nu$ sur $\infty_C$ (=le complémentaire de $C$
+dans $C^+$, cf. question 3(a)) ; ces deux points seront notés
+$\infty_1$ et $\infty_2$.
+
+(a) La coordonnée $y = Y/T$ étant vue comme fonction rationnelle, que
+vaut $\ord_P(y)$ pour $P$ un point de $C$ ?  (Discuter selon le
+point.)
+
+\begin{corrige}
+Les quatre $k^{\alg}$-points où $y$ s'annule sont les quatre points
+$P_1 = (\lambda_1,0)$, $P_2 = (\lambda_2,0)$, $P'_1 = (-\lambda_1,0)$,
+$P'_2 = (-\lambda_2,0)$ où $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$
+sont les quatre racines de $h(x)=0$ (cf. question 3(c)).  En tout
+point $P$ autre que les $P_1,P_2,P'_1,P'_2$, on a $\ord_P(y) = 0$ ; en
+ces quatre points, $\ord_P(y) = 1$ (pour justifier rigoureusement :
+$dy_P$ n'est pas nulle, puisqu'il s'agit de points lisses à tangente
+verticale ; ou, si l'on préfère, $\deg y = 4$ car $k(C)$ est donné par
+une équation de degré $4$ au-desus de $k(y)$).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(b) En considérant $\ord_P(x-c)$, avec $c$ une constante, déterminer
+de même $\ord_P(dx)$ pour $P$ un point de $C$.  Que vaut
+$\ord_P(dx/y)$ pour tout point $P$ de $C$ ?
+
+\begin{corrige}
+Pour toutes les valeurs $c$ autres que
+$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$, la fonction $x-c$
+s'annule en deux $k^{\alg}$-points de la courbe (dont les absisses
+sont $c$ et les ordonnées les deux racines carrées de $-h(c)$
+dans $k^{\alg}$), avec $\ord_P(x-c) = 1$ en ces deux points (puisque
+$x-c$ est de degré $2$).  Lorsque $c$ vaut, disons, $\lambda_1$, on a
+$\ord_{P_1}(x-\lambda_1) = 2$ (car $\ord_{P_1}(y^2) = 2$ et que $y^2$
+s'écrit comme $(x-\lambda_1)$ fois une fonction de $x$ ne s'annulant
+pas $\lambda_1$), et la même chose vaut pour
+$\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$.
+
+En choisissant pour $c$ l'abscisse du point $P$, on en déduit que
+$\ord_P(dx) = \ord_P(d(x-c)) = \ord_P(x-c)-1$ vaut $0$ en tout point
+$P$ de $C$ sauf $P_1,P_2,P'_1,P'_2$ pour lesquels $\ord_P(dx) = 1$.
+Ceci montre que $\ord_P(dx/y) = 0$ en tout point $P$ de $C$.
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
-(e) \textbf{FIXME!} Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction
-rationnelle sur $C^+$ ?  Quel est le diviseur de $dx$ ?  Celui de
-$dx/y$ ?  En conclure quant au genre de $C^+$.
+(c) Pourquoi a-t-on $(X^4 : T^2 Y^2) = (-4Y^2 - 2X^2 + 3T^2 : Y^2)$
+(ces expressions désignant les coordonnées homogènes d'un point
+de $\mathbb{P}^1$) sur $C^+$ ?  En déduire que la fonction
+$\frac{y^2}{x^4}$ s'étend en un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$
+prenant la valeur $-\frac{1}{4}$ en $\infty_C$.  Conclure que
+$\ord_{\infty_1} \frac{y^2}{x^4} = \ord_{\infty_2} \frac{y^2}{x^4} =
+0$.
+
+\begin{corrige}
+L'équation de $C^+$ donne $X^4 = -4T^2 Y^2 - 2T^2 X^2 + 3T^4$.  On a
+donc $(X^4 : T^2 Y^2) = (-4Y^2 - 2X^2 + 3T^2 : Y^2)$ (simplifier les
+coordonnées homogènes du membre de droite par $T^2$).  Ceci définit
+bien un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ (les coordonnées dans de
+gauche ne s'annulent simultanément qu'en $T = X = 0$, soit $\infty_C$,
+et celles de droite ne s'y annulent pas toutes).  Ce morphisme définit
+la fonction $\frac{T^2 Y^2}{X^4} = \frac{y^2}{x^4}$ (on a plongé
+$\mathbb{A}^1$ dans $\mathbb{P}^1$ par $t \mapsto (1:t)$), et en
+$\infty_C$ de coordonnées $(T:X:Y) = (0:0:1)$ ce morphisme vaut
+$(-4:1)$, soit $-\frac{1}{4}$, d'après les coordonnées de droite.
+
+On peut considérer ce morphisme comme un morphisme $\tilde C \to
+\mathbb{P}^1$ (en composant avec $\nu$), c'est toujours
+$\frac{y^2}{x^4}$ puisqu'on a identifié les corps de fonctions : il
+vaut $-\frac{1}{4}$ en $\infty_1,\infty_2$, donc $\ord
+\frac{y^2}{x^4}$ est nul en ces deux points.  C'est-à-dire que $y^2$
+et $x^4$, ou, bien sûr, $y$ et $x^2$, ont même ordre en $\infty_1$ et
+$\infty_2$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(d) Expliquer pourquoi $\ord_{\infty_1} x = \ord_{\infty_2} x = -1$ et
+$\ord_{\infty_1} y = \ord_{\infty_2} y = -2$ et $\ord_{\infty_1} dx =
+\ord_{\infty_2} dx = -2$.
+
+\begin{corrige}
+Manifestement $y = \frac{Y}{T}$ vaut $\infty$ en $\infty_1$ et
+$\infty_2$.  Donc $\ord_{\infty_i} y < 0$.  On a vu à la question
+précédente que $\ord_{\infty_i} y = 2 \ord_{\infty_i} x$, donc aussi
+$\ord_{\infty_i} x < 0$.  Or on a calculé $\ord_P x$ pour $P$
+dans $C$ : la somme vaut $2$, et comme le a somme sur tous les $P$ de
+$\tilde C$ doit valoir $0$, on a $\ord_{\infty_1} x = \ord_{\infty_2}
+x = -1$.  Par conséquent, $\ord_{\infty_1} y = \ord_{\infty_2} y =
+-2$, et $\ord_{\infty_1} dx = \ord_{\infty_2} dx = -2$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(e) Quel est le diviseur (canonique) de $dx/y$ sur $\tilde C$ ?  En
+conclure quant au genre de $\tilde C$.
+
+\begin{corrige}
+On a déjà vu que $\ord_P(dx/y) = 0$ pour tout $P$ de $C$, et on vient
+de voir que c'est aussi le cas en $\infty_1$ et $\infty_2$.  Par
+conséquent, $dx/y$ a le diviseur nul sur $\tilde C$.  La classe de
+diviseurs canonique sur $\tilde C$ ayant le degré $2g-2 = 0$, le genre
+de $\tilde C$ est $g=1$.
+\end{corrige}
 
 
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cgit v1.2.3

