From ff21e432f82d01abb6cd6337fcfc7fd5b6747345 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 5 May 2011 16:13:40 +0200
Subject: Notes for 2011: prolegomena in commutative algebra (simplified).

---
 notes-geoalg-2011.tex | 358 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -0,0 +1,358 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
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+%\usepackage{ucs}
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+% A tribute to the worthy AMS:
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+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
+\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition}
+\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme}
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+\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire}
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+%
+\begin{document}
+\title{\underline{Brouillon} de notes de cours\\de géométrie algébrique}
+\author{David A. Madore}
+\maketitle
+
+\centerline{\textbf{MDI349}}
+
+%
+%
+%
+
+\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}
+
+\subsection{Anneaux réduits, intègres}\label{subsection-reduced-and-integral-rings}
+
+Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont
+commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il existe un unique
+anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un seul élément,
+appelé l'\textbf{anneau nul}.
+
+Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
+implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
+\buildrel\varphi\over\to A$ (appelé \emph{morphisme structural} de
+l'algèbre).  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément
+de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in
+A$).
+
+\smallbreak
+
+Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x =
+0$.  En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un
+certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}.
+
+Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique
+$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau).  En
+général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel
+que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}.
+
+Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ =
+élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$.  L'ensemble
+$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un
+\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$.  Un
+\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$.
+
+Un corps est un anneau intègre.  Un anneau intègre est un anneau
+réduit.
+
+\smallbreak
+
+On rappelle qu'un \textbf{idéal} d'un anneau est un sous-groupe
+additif $I$ de $A$ tel que $AI \subseteq I$.  Si $(x_i)_{i\in
+  \Lambda}$ sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les
+idéaux contenant les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal
+\textbf{engendré} par les $x_i$ : c'est l'ensemble des toutes les
+combinaisons linéaires $a_1 x_{i_1} + \cdots + a_n x_{i_n}$ avec
+$a_1,\ldots,a_n \in A$ et $i_1,\ldots,i_n \in \Lambda$.  Lorsque
+$\Lambda$ est fini : l'idéal $I$ engendré par $x_1,\ldots,x_n$ est
+l'ensemble des toutes les combinaisons linéaires $a_1 x_1 + \cdots +
+a_n x_n$ et il peut se noter $Ax_1 + \cdots + Ax_n$ ou parfois
+$(x_1,\ldots,x_n)$ : on dit que $I$ est un idéal \textbf{de type
+  fini}.  Si $I$ peut être engendré par un seul élément, $I = Ax$
+(aussi noté $(x)$), on dit que $I$ est un idéal \textbf{principal}.
+
+Idéal nul $(0) = \{0\}$.  Idéal plein $A$ : un élément $x$ est
+inversible ssi l'idéal $(x)$ qu'il engendre est $A$.
+
+\smallbreak
+
+Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq
+A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec
+$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit
+$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$).  Propriété
+équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$
+soit un corps.
+
+Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq
+A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in
+\mathfrak{p}$.  Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$
+tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre.
+
+Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel
+que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
+équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
+soit réduit.
+
+\emph{Exemples :} L'idéal $7\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est maximal
+(le quotient $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps), donc \textit{a
+  fortiori} premier et radical.  L'idéal $0$ de $\mathbb{Z}$ est
+premier mais non maximal (le quotient $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} =
+\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais non un corps).  L'idéal
+$6\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est radical mais n'est pas premier.
+L'idéal $9\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ n'est pas radical.
+
+\smallbreak
+
+Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal.  Un anneau est
+intègre ssi son idéal $(0)$ est premier.  Un anneau est réduit ssi son
+idéal $(0)$ est radical.
+
+Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal.
+(En particulier, un corps est un anneau local.)  Le quotient d'un
+anneau local par son idéal maximal s'appelle son \emph{corps
+  résiduel}.  \emph{Exercice :} l'anneau $A$ des rationnels de la
+forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b$ impair est un
+anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est formé des
+$\frac{a}{b}$ avec $a$ pair.  (Quel est le corps résiduel ?)
+
+\smallbreak
+
+On admet les résultats suivants :
+\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
+Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
+un idéal maximal.
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
+c'est le plus petit idéal radical (intersection des idéaux radicaux).
+Cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.
+On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.
+\end{prop}
+
+En appliquant ce dernier résultat à $A/I$, on obtient :
+\begin{prop}
+Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
+tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
+c'est le plus petit idéal radical contenant $I$.  Cet idéal est
+précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.
+On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd
+I$.
+\end{prop}
+
+L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
+\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général,
+strictement plus grand que le nilradical.
+
+Notons aussi la conséquence facile suivante de la
+proposition \ref{existence-maximal-ideals}.
+\begin{prop}\label{non-invertible-elements-and-maximal-ideals}
+Dans un anneau $A$, l'ensemble des éléments non-inversibles est la
+réunion de tous les idéaux maximaux.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Dire que $x$ est inversible signifie que $x$ engendre l'idéal unité.
+Si c'est le cas, $x$ n'appartient à aucun idéal strict de $A$, et en
+particulier aucun idéal maximal.  Réciproquement, si $x$ n'est pas
+inversible, l'idéal $(x)$ qu'il engendre est strict, donc inclus dans
+un idéal maximal $\mathfrak{m}$
+d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x$ est bien dans la
+réunion des idéaux maximaux.
+\end{proof}
+
+%
+\subsection{Anneaux noethériens}
+
+Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les
+proprités équivalentes suivantes :
+\begin{itemize}
+\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1
+  \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne
+  (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ;
+\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille
+  \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme
+  idéal ;
+\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille
+  $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$
+  qui engendre le même idéal $I$.
+\end{itemize}
+
+L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas,
+auxquels on aura affaire) sont noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est
+noethérien.  Tout corps est un anneau noethérien.  Tout quotient d'un
+anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un
+sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien).  Et
+surtout :
+\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
+Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
+une indéterminée sur $A$ est noethérien.
+\end{prop}
+
+En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
+$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
+quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :
+
+\begin{defn}\label{finite-type-algebras}
+Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre)
+lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer}
+$B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive
+$f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
+A[t_1,\ldots,t_d]$.
+\end{defn}
+
+Dire que $B$ est une $A$-algèbre de type fini engendrée par
+$x_1,\ldots,x_d$ signifie donc que le morphisme $\xi\colon
+A[t_1,\ldots,t_d] \to B$ défini par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ est
+\emph{surjectif}.  Par conséquent, si $I$ désigne le noyau de ce
+morphisme (c'est-à-dire l'ensemble des $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$ qui
+s'annulent en $(x_1,\ldots,x_d)$) alors $\xi$ définit un isomorphisme
+$A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$.  On peut donc dire :
+une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$
+(pour un certain $d$).
+
+\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian}
+Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier
+sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
+\end{cor}
+
+%
+\subsection{Localisation}
+
+On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative}
+lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$.  Par exemple, le
+complémentaire d'un idéal premier est, par définition,
+multiplicative ; en particulier, dans un anneau intègre, l'ensemble
+des éléments non nuls est une partie multiplicative.
+
+Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou
+$S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec
+$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie\footnote{Ce racourci de langage
+  signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur
+  $A\times S$ définie par $(a,s) \sim (a',s')$ lorsqu'il existe $t \in
+  S$ tel que $t(a's-as') = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$ le quotient
+  $(A\times S)/\sim$, et on note $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette
+  relation ; il faudrait encore vérifier que toutes les opérations
+  proposées ensuite sont bien définies.} $a/s = a'/s'$ lorsqu'il
+existe $t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$.  L'addition est définie par
+$(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par
+$-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') =
+(aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).  Cet anneau est muni d'un morphisme
+naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto
+a/1$.  On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie
+multiplicative $S$.  Si $A$ est une $k$-algèbre (pour un certain
+anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente
+(en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme
+naturel $A \to A[S^{-1}]$).
+
+\begin{prop}\label{properties-localization}
+\begin{itemize}
+\item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
+  injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
+  (Extrême inverse : si $S$ contient $0$, alors $A[S^{-1}]$ est
+  l'anneau nul.)
+\item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] :=
+  \{a/s : a\in I,\penalty0 s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque
+  dans $A$ (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de
+  l'idéal $J$ considéré.
+\item L'application $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$
+  définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et
+  ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S =
+A\setminus\mathfrak{p}$ est son com\-plé\-men\-taire, on note
+$A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal
+maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s
+\not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$
+\textbf{en} $\mathfrak{p}$.  Si $A$ est un anneau intègre et $S = A
+\setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
+$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des
+  fractions} de $A$.  Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et
+$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps.
+
+Toute partie $\Sigma$ de $A$ engendre une partie multiplicative $S$
+(c'est l'intersection de toutes les parties multiplicatives
+contenant $\Sigma$, ou simplement l'ensemble de tous les produits
+possibles d'éléments de $\Sigma$) : on note généralement
+$A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$.  En particulier, lorsque $\Sigma =
+\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$, on note
+$A[\sigma_1^{-1},\ldots,\sigma_n^{-1}]$ ou
+$A[\frac{1}{\sigma_1},\ldots,\frac{1}{\sigma_n}]$.
+
+\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element}
+Si $A$ est un anneau et $\sigma_1,\ldots,\sigma_n \in A$, alors
+\begin{itemize}
+\item L'anneau $A[\frac{1}{\sigma_1},\ldots,\frac{1}{\sigma_n}]$
+  s'identifie à $A[\frac{1}{f}]$ où $f = \sigma_1\cdots\sigma_n$.
+\item De plus, $A[\frac{1}{f}] \cong A[z]/(zf-1)$ (ici, $A[z]$ est
+  l'anneau des polynômes en une indéterminée), par un isomorphisme
+  envoyant $\frac{a}{f^n}$ sur la classe de $a z^n$
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3


From 8079617633ac9838b5388377a9c86ea75a981826 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 5 May 2011 17:54:44 +0200
Subject: Affine algebraic varieties over algebraically closed fields,
 morphisms.

---
 notes-geoalg-2011.tex | 429 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 427 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'notes-geoalg-2011.tex')

diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex
index 44a0bd7..1e46b5c 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -130,8 +130,8 @@ $(x_1,\ldots,x_n)$ : on dit que $I$ est un idéal \textbf{de type
   fini}.  Si $I$ peut être engendré par un seul élément, $I = Ax$
 (aussi noté $(x)$), on dit que $I$ est un idéal \textbf{principal}.
 
-Idéal nul $(0) = \{0\}$.  Idéal plein $A$ : un élément $x$ est
-inversible ssi l'idéal $(x)$ qu'il engendre est $A$.
+Idéal nul $(0) = \{0\}$.  Idéal plein ou idéal unité $A$ : un élément
+$x$ est inversible ssi l'idéal $(x)$ qu'il engendre est l'idéal unité.
 
 \smallbreak
 
@@ -351,6 +351,431 @@ Si $A$ est un anneau et $\sigma_1,\ldots,\sigma_n \in A$, alors
 \end{prop}
 
 
+%
+%
+%
+
+\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos}
+
+Dans cette section, $k$ sera un corps algébriquement clos.
+
+On appelle \textbf{espace affine de dimension $d$} sur $k$
+l'ensemble $k^d$ (on parle de droite ou plan affine lorsque $d=1,2$).
+Il sera aussi parfois noté $\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{A}^d(k)$ pour
+des raisons qui apparaîtront plus loin.
+
+%
+\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}
+
+\textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de
+  $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?}
+
+Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un
+ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0
+(\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$.
+
+Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors
+$Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est
+« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) =
+\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un racourci de
+notation pour $Z(\{f\})$).  Plus intéressant : si $I$ est l'idéal
+engendré par $\mathscr{F}$ alors $Z(I) = Z(\mathscr{F})$.  On peut
+donc se contenter de regarder les $Z(I)$ avec $I$ idéal
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$.  Encore un peu mieux : si $\surd I = \{f :
+(\exists n)\,f^n\in I\}$ désigne le radical de l'idéal $I$, on a
+$Z(\surd I) = Z(I)$ ; on peut donc se contenter de considérer les
+$Z(I)$ avec $I$ idéal radical.
+
+On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$ une partie $E$ de la
+forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il
+s'agit d'un idéal radical.
+
+Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble
+$k^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$).  Tout
+singleton est un fermé de Zariski : en effet, $Z(\mathfrak{m}_x) =
+\{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ ;
+remarquer que $\mathfrak{m}_x$ est un idéal maximal, le quotient
+$k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}_x$ s'identifiant à $k$ par la fonction
+$f \mapsto f(x)$ d'évaluation en $x$.
+
+Si $(E_i)_{i\in \Lambda}$ sont des fermés de Zariski, alors
+$\bigcap_{i\in \Lambda} E_i$ est un fermé de Zariski : plus
+précisément, si $(I_i)_{i\in \Lambda}$ sont des idéaux
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(\sum_{i\in\Lambda} I_i) =
+\bigcap_{i\in\Lambda} Z(I_i)$.  Si $E,E'$ sont des fermés de Zariski,
+alors $E \cup E'$ est un fermé de Zariski : plus précisément, si
+$I,I'$ sont des idéaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(I\cap I') =
+Z(I) \cup Z(I')$ (l'inclusion $\supseteq$ est évidente ; pour l'autre
+inclusion, si $x \in Z(I\cap I')$ mais $x \not\in Z(I)$, il existe
+$f\in I$ tel que $f(x) \neq 0$, et alors pour tout $f' \in I'$ on a
+$f(x)\,f'(x) = 0$ puisque $ff' \in I\cap I'$, donc $f'(x) = 0$, ce qui
+prouve $x \in Z(I')$).
+
+\medbreak
+
+\textbf{Comment associer un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ à une partie
+  de $k^d$ ?}
+
+Réciproquement, si $E$ est une partie de $k^d$, on note
+$\mathfrak{I}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall
+(x_1,\ldots,x_d)\in E)\, f(x_1,\ldots,x_d)=0\}$.  Vérification
+facile : c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal
+radical.  Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors
+$\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(E')$ ; on a $\mathfrak{I}(E) =
+\bigcap_{x\in E} \mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal
+maximal $\mathfrak{I}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$), et en
+particulier $\mathfrak{I}(E) \neq k[t_1,\ldots,t_d]$ dès que $E \neq
+\varnothing$.
+
+On a de façon triviale $\mathfrak{I}(\varnothing) =
+k[t_1,\ldots,t_d]$.  De façon moins évidente, si $k$ est infini (ce
+qui est en particulier le cas lorsque $k$ est algébriquement clos), on
+a $\mathfrak{I}(k^d) = (0)$ (démonstration par récurrence sur $d$,
+laissée en exercice).
+
+\danger Sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, on a
+$\mathfrak{I}({\mathbb{F}_q}^d) \neq (0)$.  Par exemple, si $t$ est
+une des in\-dé\-ter\-mi\-nées, le polynôme $t^q-t$ s'annule en tout
+point de ${\mathbb{F}_q}^d$.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Le rapport entre ces deux fonctions}
+
+On a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq
+\mathfrak{I}(E)$, puisque les deux signifient « tout polynôme dans
+  $\mathscr{F}$ s'annule en tout point de $E$ ».
+
+En particulier, en appliquant cette remarque à $\mathscr{F} =
+\mathfrak{I}(E)$, on a $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ pour toute
+partie $E$ de $k^d$ ; et en appliquant la remarque à $E =
+Z(\mathscr{F})$, on a $\mathscr{F} \subseteq
+\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$.  De $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ on
+déduit $\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$
+(car $\mathfrak{I}$ est décroissante), mais par ailleurs
+$\mathfrak{I}(E) \subseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ en
+appliquant l'autre inclusion à $\mathfrak{I}(E)$ : donc
+$\mathfrak{I}(E) = \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ pour toute partie
+$E$ de $k^d$ ; de même, $Z(\mathscr{F}) =
+Z(\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F})))$ pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de
+polynômes.  On a donc prouvé :
+
+\begin{prop}
+Avec les notations ci-dessus :
+\begin{itemize}
+\item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ si et
+  seulement si elle est de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un
+  certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas
+  on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal
+  radical.
+\item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I =
+  \mathfrak{I}(Z(I))$ si et seulement si elle est de la forme
+  $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut
+  prendre $E = Z(I)$, et $I$ est un idéal radical
+  de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\item Les fonctions $\mathfrak{I}$ et $Z$ se restreignent en des
+  bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des fermés
+  de Zariski $E$ de $k^d$ et l'ensemble des idéaux (radicaux) $I$
+  de $k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+On va voir ci-dessous que les idéaux tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$
+sont exactement (tous) les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Fermés irréductibles et idéaux premiers}
+
+On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est
+\textbf{irréductible} lorsqu'on ne peut pas écrire $E = E' \cup E''$,
+où $E',E''$ sont deux fermés de Zariski (forcément contenus
+dans $E$...), sauf si $E'=E$ ou $E''=E$.
+
+\emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de
+coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y)
+\in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 :
+x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est
+réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des
+abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits
+que $Z(xy)$.
+
+\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal}
+Un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ est irréductible si, et
+seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Supposons $\mathfrak{I}(E)$ premier : on veut montrer que $E$ est
+irréductible.  Supposons $E = E' \cup E''$ comme ci-dessus (on a vu
+que $E = Z(\mathfrak{I}(E))$, $E' = Z(\mathfrak{I}(E'))$ et $E'' =
+Z(\mathfrak{I}(E''))$) : on veut montrer que $E' = E$ ou $E'' = E$.
+Supposons le contraire, c'est-à-dire $\mathfrak{I}(E) \neq
+\mathfrak{I}(E')$ et $\mathfrak{I}(E) \neq \mathfrak{I}(E'')$.  Il
+existe alors $f' \in \mathfrak{I}(E') \setminus \mathfrak{I}(E)$ et
+$f'' \in \mathfrak{I}(E'') \setminus \mathfrak{I}(E)$.  On a alors
+$f'f'' \not\in \mathfrak{I}(E)$ car $\mathfrak{I}(E)$ est premier, et
+pourtant $f'f''$ s'annule sur $E'$ et $E''$ donc sur $E$, une
+contradiction.
+
+Réciproquement, supposons $E$ irréductible : on veut montrer que
+$\mathfrak{I}(E)$ est premier.  Soient $f',f''$ tels que $f'f'' \in
+\mathfrak{I}(E)$ : posons $E' = Z(\mathfrak{I}(E) + (f'))$ et $E'' =
+Z(\mathfrak{I}(E) + (f''))$.  On a $E' \subseteq E$ et $E'' \subseteq
+E$ puisque $E = Z(\mathfrak{I}(E))$, et en fait $E' = E \cap Z(f')$ et
+$E'' = E \cap Z(f'')$ ; on a par ailleurs $E = E' \cup E''$ (car si $x
+\in E$ alors $f'(x)\,f''(x) = 0$ donc soit $f'(x)=0$ soit $f''(x)=0$,
+et dans le premier cas $x \in E'$ et dans le second $x \in E''$).
+Puisqu'on a supposé $E$ irréductible, on a, disons, $E' = E$,
+c'est-à-dire $E \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in
+\mathfrak{I}(E)$.  Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
+\end{proof}
+
+%
+\subsection{Le Nullstellensatz}
+
+(Nullstellensatz, littéralement, « théorème du lieu d'annulation », ou
+« théorème des zéros de Hilbert ».)
+
+On rappelle que $k$ est algébriquement clos !  (Pour l'instant, cela
+n'a pas beaucoup servi.)
+
+\begin{prop}[Nullstellensatz faible]
+Soit $k$ un corps algébriquement clos.  Si $I$ est un idéal de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que $Z(I) = \varnothing$, alors $I =
+k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas particulier où $k$ est indénombrable.]
+Supposons par contraposée $I \subsetneq k[t_1,\ldots,t_d]$.  Alors il
+existe un idéal maximal $\mathfrak{m}$ tel que $I \subseteq
+\mathfrak{m}$, et on a $Z(\mathfrak{m}) \subseteq Z(I)$.  On va
+montrer $Z(\mathfrak{m}) \neq \varnothing$.
+
+Soit $K = k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$.  Il s'agit d'un corps, qui
+est de dimension au plus dénombrable (=il a une famille génératrice
+dénombrable, à savoir les images des monômes dans les $t_i$) sur $k$.
+Mais $K$ ne peut pas contenir d'élément transcendant $\tau$ sur $k$
+car, $k$ ayant été supposé indénombrable, la famille des
+$\frac{1}{\tau - x}$ pour $x\in k$ serait linéairement indépendante
+(par décomposition en élément simples) dans $k(\tau)$ donc dans $K$.
+Donc $K$ est algébrique sur $k$.  Comme $k$ était supposé
+algébriquement clos, on a en fait $K=k$.  Les classes des
+indéterminées $t_1,\ldots,t_d$ définissent alors des éléments
+$x_1,\ldots,x_d \in k$, et pour tout $f \in \mathfrak{m}$, on a
+$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$.  Autrement dit, $(x_1,\ldots,x_d) \in
+Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut.
+\end{proof}
+
+En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le
+cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) :
+\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}
+Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Tout idéal maximal
+$\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
+$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$
+pour un certain $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+En fait, on a prouvé que si $\mathfrak{m}$ est un idéal maximal, il
+existe $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$ tels que $(x_1,\ldots,x_d) \in
+Z(\mathfrak{m})$, ce qui donne $\mathfrak{m} \subseteq
+\mathfrak{I}(\{(x_1,\ldots,x_d)\})$, mais par maximalité de
+$\mathfrak{m}$ ceci est en fait une égalité.
+\end{proof}
+
+En particulier, le corps quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$ est
+isomorphe à $k$, l'isomorphisme étant donnée par l'évaluation au point
+$(x_1,\ldots,x_d)$ tel que ci-dessus.
+
+\begin{thm}[Nullstellensatz = théorème des zéros de Hilbert]
+Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (toujours avec $k$ un corps
+algébriquement clos) : alors $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le
+radical de $I$).
+\end{thm}
+\begin{proof}
+On sait que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit de
+montrer la réciproque.  Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut
+prouver $f\in \surd I$.  On vérifie facilement que ceci revient à
+montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$
+de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité.  Or
+$k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
+d'après \ref{localization-inverting-one-element}.  Soit $J$ l'idéal
+engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que
+$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir
+simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$,
+donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ :
+ceci donne $I[\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$.
+\end{proof}
+
+\begin{scho}
+Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto
+Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections
+réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$
+d'autre part.
+
+Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons)
+de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$), et les
+\emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux
+premiers.
+\end{scho}
+
+%
+\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski}
+
+Si $X$ est un fermé de Zariski dans $k^d$ avec $k$ algébriquement
+clos, on a vu qu'il existe un unique idéal radical $I$
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des
+polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$.  Le quotient
+$k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi
+$X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions
+  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$.
+
+Pourquoi fonctions régulières ?  On peut considérer un élément $f \in
+\mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si
+$\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$
+(modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde
+f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant
+$f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler
+$f(x)$ cette valeur.  Inversement, un $f \in \mathcal{O}(X)$ est
+complètement déterminé par sa valeur sur chaque point $x$ de $X$
+(rappel : $k$ est algébriquement clos ici, et c'est important !) ; en
+effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X$, tout élément de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x \in X$,
+c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui signifie justement
+$f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$.  Moralité : on peut bien considérer les
+éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.  Ces fonctions sont,
+tout simplement, \emph{les restrictions à $X$ des fonctions
+  polynomiales sur l'espace affine $\mathbb{A}^d$}.
+
+Dans le cas où $X = \mathbb{A}^d = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$),
+évidemment, $\mathcal{O}(\mathbb{A}^d) = k[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+On définit un \textbf{fermé de Zariski de $X$} comme un fermé de
+Zariski de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$.  La bonne
+nouvelle est que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et
+idéaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ se généralise presque mot pour mot à une
+correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux
+de $\mathcal{O}(X)$ :
+
+\begin{prop}
+Avec les notations ci-dessus :
+\begin{itemize}
+\item Tout fermé de Zariski de $X$ est de la forme $Z(\mathscr{F}) :=
+  \{x\in X :\penalty0 {(\forall f\in \mathscr{F})}\penalty100\, f(x) =
+  0\}$ pour un certain ensemble $\mathscr{F}$ d'éléments
+  de $\mathcal{O}(X)$.
+\item En posant $\mathfrak{I}(E) := \{f\in \mathcal{O}(X) :\penalty0
+  {(\forall x\in E)}\penalty100\, f(x)=0\}$, les fonctions $I \mapsto
+  Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections
+  réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux
+  radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de Zariski de
+  $X$ d'autre part : on a $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ pour tout
+  idéal $I$ de $\mathcal{O}(X)$.
+\item Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les
+  singletons) de $X$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
+  $\mathcal{O}(X)$ (qui sont donc tous de la forme $\mathfrak{m}_x :=
+  \{f \in \mathcal{O}(X) : f(x)=0\}$ pour un $x\in X$) ; et les
+  \emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux
+  premiers.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+\smallbreak
+
+Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$
+(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal radical
+de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X)
+\to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to
+\mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction
+régulière $f$ sur $X$ sur sa \emph{restriction} à $X'$, parfois
+notée $f|_{X'}$.
+
+%
+\subsection{Variétés algébriques affines, morphismes}
+
+On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
+dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
+$X$ de $k^d$.  Pourquoi cette terminologie redondante ?  Le terme
+« fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace
+affine $\mathbb{A}^d$.  Le terme de « variété algébrique affine »
+insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses propres fermés de
+Zariski et de ses propres fonctions régulières, qu'on va maintenant
+présenter.  On a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau
+$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, qui coïncide avec
+l'ensemble des fonctions $X \to k$ qui sont restrictions de fonctions
+polynomiales sur $k^d$.
+
+On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} entre un
+fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y \subseteq
+k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$ coordonnées à
+l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$.  Autrement dit, il
+s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ de
+$\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout $x
+\in X$.
+\begin{prop}
+Si $X = Z(I) \subseteq k^d$ et $Y = Z(J) \subseteq k^e$, et si
+$(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$, alors $f = (f_1,\ldots,f_e)$
+définit un morphisme $X\to Y$ (autrement dit $(f_1(x),\ldots,f_e(x))
+\in Y$ pour tout $x \in X$) \emph{si et seulement si}
+$h(f_1,\ldots,f_e) = 0$ (vu comme élément de $\mathcal{O}(X)$) pour
+tout $h \in J$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Il y a équivalence entre :
+\begin{itemize}
+\item $h(f_1,\ldots,f_e) = 0$ dans $\mathcal{O}(Y)$ pour tout $h \in J$,
+\item $h(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $h \in J$ et $x \in X$, et
+\item $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout $x \in X$.
+\end{itemize}
+(L'équivalence entre les deux premières affirmations vient du fait que
+pour $g\in \mathcal{O}(X)$, ici $g = h(f_1,\ldots,f_e)$, on a $g=0$ si
+et seulement si $g(x)=0$ pour tout $x\in X$.  L'équivalence entre les
+deux dernières vient du fait que $(y_1,\ldots,y_e) \in Y$ si et
+seulement si $h(y_1,\ldots,y_e) = 0$ pour tout $h \in J$ par
+définition de $Y = Z(J)$.)
+\end{proof}
+
+Remarquons en particulier que les fonctions régulières sur $X$
+(c'est-à-dire les éléments de $\mathcal{O}(X)$) peuvent se voir comme
+des morphismes $X \to \mathbb{A}^1$ de $X$ vers la droite affine.
+
+Remarquons par ailleurs que les morphismes de variétés algébriques se
+composent : donnés deux morphismes $X \to Y$ et $Y \to Z$, on peut
+définir un morphisme $X \to Z$ en composant les applications.
+
+Lorsque $f \colon X \to Y$ est un morphisme comme ci-dessus, on
+définit $f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ de la façon
+suivante : si $h \in \mathcal{O}(Y)$ est une fonction régulière vue
+comme un morphisme $Y \to \mathbb{A}^1$, on définit $f^*(h) \in
+\mathcal{O}(X)$ comme la fonction régulière donnée par le morphisme
+composé $h\circ f \colon X \to \mathbb{A}^1$.  (Autrement dit, $f^*$
+est l'application de composition à droite par $f$.)
+
+\begin{prop}
+Si $X \subseteq \mathbb{A}^d$ et $Y \subseteq \mathbb{A}^e$ sont deux
+variétés algébriques affines, la correspondance $f \mapsto f^*$
+définie ci-dessus définit une bijection entre les morphismes $X \to Y$
+de variétés algébriques affines et les morphismes $\mathcal{O}(Y) \to
+\mathcal{O}(X)$ de $k$-algèbres.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si les indéterminées $u_1,\ldots,u_e$ sont les $e$ coordonnées sur
+$\mathbb{A}^e$, alors les classes de $u_1,\ldots,u_e$ définissent des
+éléments de $\mathcal{O}(Y)$ : si $f \colon X \to Y$ est un morphisme
+de variétés algébriques, alors les fonctions $f_1,\ldots,f_e \in
+\mathcal{O}(X)$ le définissant sont simplement les images par $f^*$ de
+ces éléments.  Ceci montre que $f^*$ permet de retrouver $f$ (la
+correspondance $f \mapsto f^*$ est injective).  Et si $\psi \colon
+\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ est un morphisme quelconque, alors
+en définissant $f_1,\ldots,f_e$ comme les images de $u_1,\ldots,u_e
+\in \mathcal{O}(Y)$ par $\psi$, on a $h(f_1,\ldots,f_e) = 0$ dans
+$\mathcal{O}(Y)$ pour tout $h \in J$ (puisque $h(u_1,\ldots,u_e) = 0$
+dans $\mathcal{O}(Y)$) donc $f_1,\ldots,f_e$ définissent bien un
+morphisme $X \to Y$.
+\end{proof}
+
+
 
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cgit v1.2.3


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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 9 May 2011 14:49:07 +0200
Subject: More about morphisms.

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index 1e46b5c..cac3dcf 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -629,7 +629,7 @@ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des
 polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$.  Le quotient
 $k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi
 $X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions
-  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$.
+  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$ (ou parfois $k[X]$).
 
 Pourquoi fonctions régulières ?  On peut considérer un élément $f \in
 \mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si
@@ -651,6 +651,8 @@ tout simplement, \emph{les restrictions à $X$ des fonctions
 Dans le cas où $X = \mathbb{A}^d = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$),
 évidemment, $\mathcal{O}(\mathbb{A}^d) = k[t_1,\ldots,t_d]$.
 
+\smallbreak
+
 On définit un \textbf{fermé de Zariski de $X$} comme un fermé de
 Zariski de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$.  La bonne
 nouvelle est que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et
@@ -706,13 +708,13 @@ $\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, qui coïncide avec
 l'ensemble des fonctions $X \to k$ qui sont restrictions de fonctions
 polynomiales sur $k^d$.
 
-On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} entre un
-fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y \subseteq
-k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$ coordonnées à
-l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$.  Autrement dit, il
-s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ de
-$\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout $x
-\in X$.
+On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} sur $k$
+entre un fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y
+\subseteq k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$
+coordonnées à l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$.
+Autrement dit, il s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$
+de $\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout
+$x \in X$.
 \begin{prop}
 Si $X = Z(I) \subseteq k^d$ et $Y = Z(J) \subseteq k^e$, et si
 $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$, alors $f = (f_1,\ldots,f_e)$
@@ -775,6 +777,92 @@ dans $\mathcal{O}(Y)$) donc $f_1,\ldots,f_e$ définissent bien un
 morphisme $X \to Y$.
 \end{proof}
 
+\smallbreak
+
+Une fois qu'on dispose de cette notion de morphisme, on peut par
+exemple dire que deux variétés algébriques affines $X,Y$ sont
+\textbf{isomorphes} lorsqu'il existe des morphismes $X \to Y$ et $Y
+\to X$ dont la composée chaque sens est l'identité.  Ceci signifie,
+tout simplement, que les $k$-algèbres $\mathcal{O}(X)$ et
+$\mathcal{O}(Y)$ sont isomorphes.
+
+Ceci justifie partiellement la différence de terminologie entre
+« fermé de Zariski » (dans $k^d$) et « variété algébrique affine »
+(sur $k$) : dans le premier cas, on insiste sur $X$ en tant que partie
+de $k^d$, tandis que dans le second cas on la considère \emph{à
+  isomorphisme près} de variété algébrique affine (sur $k$).
+
+\smallbreak
+
+\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$,
+c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des
+polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement
+clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.  On a
+$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) =
+k[t]$.  On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
+par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme
+d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to
+\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto
+x^3$.  Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
+l'image de $f^*$.  Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une
+bijection au niveau des $k$-points.
+
+Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine)
+d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp =
+Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$.  On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to
+C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme
+est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto
+z$.  L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100
+y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$.  Par ailleurs, le morphisme
+$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme
+la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la
+projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$.
+
+Sur le cercle $C = Z(x^2+y^2-1)$ (pas le même $C$ que dans les deux
+paragraphes précédents), si $k$ est de caractéristique $\neq 5$, on
+peut définir le morphisme $C \to C$ de « rotation
+  d'angle $\arctan\frac{3}{4}$ » (terminologie abusive si $k$ n'est
+pas un corps contenant $\mathbb{R}$) ou « multiplication par le
+  point $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ » par $(x,y) \mapsto (\frac{4}{5}x
+- \frac{3}{5}y, \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y)$.  C'est un isomorphisme
+de $C$ avec lui-même.  On pourrait définir l'opération de composition
+$C \times C \to C$ par $((x,y),(x',y')) \mapsto (xx'-yy', xy'+yx')$
+mais il faudrait pour cela avoir défini le produit de deux variétés
+(pour donner un sens à $C \times C$), ce qu'on n'a pas encore fait.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une
+  algèbre.}
+
+\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines)
+sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de
+Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$
+dans lequel ils vivent.  Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$
+décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite,
+mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$
+puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe.  Ou, si on préfère, un
+fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété
+algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci
+dans $\mathbb{A}^d$.
+
+Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on
+rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$
+est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments
+$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier)
+et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau
+$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le
+$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations
+$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$.  Cette variété
+est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que
+$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$
+sont isomorphes, justement).  On peut donc donner un nom à $X$ : c'est
+le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$.  (Par exemple, $\Spec k[t]
+= \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] =
+\mathbb{A}^d_k$.  Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point.  Quant
+à l'ensemble vide, c'est $\Spec 0$ où $0$ est l'anneau nul.)
+
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3


From 96571a709ca89d9f5d04643e66eb7f64cd48d476 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 9 May 2011 15:45:04 +0200
Subject: The Zariski topology, morphisms between quasi-affine varieties.

---
 notes-geoalg-2011.tex | 260 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 258 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'notes-geoalg-2011.tex')

diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex
index cac3dcf..432c3a0 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -275,7 +275,7 @@ sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
 \end{cor}
 
 %
-\subsection{Localisation}
+\subsection{Localisation}\label{subsection-localization}
 
 On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative}
 lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$.  Par exemple, le
@@ -628,7 +628,7 @@ clos, on a vu qu'il existe un unique idéal radical $I$
 de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des
 polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$.  Le quotient
 $k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi
-$X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions
+$X$ est irréductible) s'appelle l'\textbf{anneau des fonctions
   régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$ (ou parfois $k[X]$).
 
 Pourquoi fonctions régulières ?  On peut considérer un élément $f \in
@@ -792,6 +792,9 @@ Ceci justifie partiellement la différence de terminologie entre
 de $k^d$, tandis que dans le second cas on la considère \emph{à
   isomorphisme près} de variété algébrique affine (sur $k$).
 
+Pour souligner qu'on parle de l'ensemble des points de $X$, plutôt que
+de $X$ comme variété algébrique affine, on écrit parfois $X(k)$.
+
 \smallbreak
 
 \textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$,
@@ -863,6 +866,259 @@ le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$.  (Par exemple, $\Spec k[t]
 \mathbb{A}^d_k$.  Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point.  Quant
 à l'ensemble vide, c'est $\Spec 0$ où $0$ est l'anneau nul.)
 
+Abstraitement, on peut donc dire que les variétés algébriques affines
+sont les $\Spec R$ pour $R$ une $k$-algèbre réduite de type fini.
+
+%
+\subsection{La topologie de Zariski}
+
+On appelle \textbf{ouvert de Zariski} dans $k^d$ (toujours avec $k$ un
+corps algébriquement clos) le complémentaire d'un fermé de Zariski.
+Autrement dit, si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit
+$U(I) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0 (\forall f\in I)\,
+f(x_1,\ldots,x_d) \neq 0\}$ le complémentaire de $Z(I)$ : un ouvert de
+Zariski de $k^d$ est un ensemble de la forme $U(I)$.  Plus
+généralement, si $X$ est une variété algébrique affine, si $I$ est un
+idéal de $\mathcal{O}(X)$, on définit $U(I) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in X
+:\penalty0 (\forall f\in I)\, f(x_1,\ldots,x_d) \neq 0\}$ le
+complémentaire de $Z(I)$ : on appelle ces ensembles ouverts de Zariski
+de $X$.
+
+Étant donné qu'une intersection quelconque ou une réunion finie de
+fermés sont des fermés, dualement, \emph{une réunion quelconque ou une
+  intersection finie d'ouverts sont des ouverts} (par ailleurs,
+l'ensemble vide et l'ensemble plein sont des ouverts) --- ces
+propriétés sont constitutives de la notion de \emph{topologie}, en
+l'occurrence la \textbf{topologie de Zariski} (sur l'ensemble $k^d$ ou
+$X(k)$).
+
+\smallbreak
+
+Si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$, alors les fermés et ouverts de
+Zariski de $X'$ sont précisément les intersections avec $X'$ des
+fermés et ouverts de Zariski de $X$.  (On dit que la topologie de $X'$
+est \emph{induite} par celle de $X$.)
+
+\smallbreak
+
+Si $I$ est engendré par les éléments $f_1,\ldots,f_r$, on peut écrire
+$U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est
+l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas.  Les $D(f)$ s'appellent parfois
+\emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de
+les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts}
+(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former
+une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une
+réunion d'une sous-famille d'entre eux).
+
+\begin{prop}\label{covering-by-principal-open-sets}
+Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$
+(pour $i \in \Lambda$ disons), alors $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) =
+X$ si et seulement si les $f_i$ engendrent l'idéal unité
+dans $\mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire ssi il existe des $g_i$, tous nuls
+sauf un nombre fini, tels que $\sum_{i\in\Lambda} g_i f_i = 1$).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Dire $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) = X$ équivaut à
+$\bigcap_{i\in\Lambda} Z(f_i) = \varnothing$, c'est-à-dire encore
+$Z(\{f_i\}) = \varnothing$, soit encore $Z(I) = \varnothing$ où $I$
+est l'idéal engendré par les $f_i$, et l'énoncé découle du
+Nullstellensatz faible.
+\end{proof}
+
+On aura besoin pour la suite de remarquer que $D(f) \cap D(f') =
+D(ff')$.
+
+\smallbreak
+
+Un peu de vocabulaire de topologie : dans ce qui suit, on suppose que
+$X$ est un ensemble muni d'une topologie (c'est-à-dire un ensemble de
+parties de $X$ dites « ouvertes » contenant $\varnothing$ et $X$ et
+telles qu'une réunion quelconque ou une intersection finie d'ouverts
+sont des ouverts), sachant qu'on s'intéresse évidemment au cas de la
+topologie de Zariski.
+
+Si $x \in U \subseteq V$ avec $U$ ouvert (et $V$ une partie quelconque
+de $X$), on dit que $V$ est un \textbf{voisinage} de $x$.  (Un
+voisinage ouvert de $x$ est donc tout simplement la même chose qu'un
+ouvert contenant $x$.)
+
+Si $E \subseteq X$ est une partie quelconque, l'intersection de tous
+les fermés (=complémentaires des ouverts) contenant $E$, c'est-à-dire
+le plus petit fermé contenant $E$, s'appelle \textbf{adhérence}
+de $E$, parfois notée $\overline{E}$.  Il s'agit de l'ensemble des $x
+\in X$ tels que tout voisinage de $x$ rencontre $E$.  Lorsque
+l'adhérence de $E$ est $X$ tout entier, on dit que $E$ est
+\textbf{dense} dans $X$.
+
+On dit que $X$ est \textbf{irréductible} lorsque toute écriture $X =
+F' \cup F''$ avec $F',F''$ fermés impose $F' = X$ ou $F'' = X$ ; de
+façon équivalente, cela signifie que tout ouvert non vide de $X$ est
+dense.
+
+On dit que $X$ est \textbf{connexe} lorsque ($X$ est non vide et que)
+$\varnothing$ et $X$ sont les seuls ensembles à la fois ouverts et
+fermés dans $X$.  (« Irréductible » est plus fort que « connexe », car
+si $X$ est irréductible, tout ouvert non vide est dense, et en
+particulier le seul ouvert fermé non vide est $X$ tout entier.)
+
+\smallbreak
+
+Dans le cas de la topologie de Zariski sur une variété algébrique
+affine $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ (c'est-à-dire,
+sur $X(k)$) :
+\begin{itemize}
+\item $X$ est irréductible ssi $\mathcal{O}(X)$ est intègre
+  (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}),
+\item l'adhérence de Zariski d'une partie $E \subseteq X(k)$ est
+  $Z(\mathfrak{I}(E))$ (en effet, ceci est un fermé de Zariski
+  contenant $E$, et si $Z(J) \supseteq E$ est un autre fermé de
+  Zariski contenant $E$ alors on a vu $J \subseteq \mathfrak{I}(E)$
+  donc $Z(J) \supseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ --- ceci montre que
+  $Z(\mathfrak{I}(E))$ est bien le plus petit pour l'inclusion fermé
+  de Zariski contenant $E$).
+\end{itemize}
+
+Exemple (idiot) : On suppose $k$ de caractéristique zéro, disons $k =
+\mathbb{C}$ ; quelle est l'adhérence de Zariski de $\mathbb{Z}$ dans
+$\mathbb{A}^1(k)$ ?  Réponse : L'ensemble $\mathfrak{I}(\mathbb{Z})$
+des polynômes s'annulant en chaque point de $\mathbb{Z}$ est réduit
+à $(0)$ puisqu'un polynôme en une variable ne peut avoir qu'un nombre
+fini de racines ; donc l'adhérence de Zariski de $\mathbb{Z}$ est
+$Z(\mathfrak{I}(\mathbb{Z})) = \mathbb{A}^1(k)$ tout entier,
+c'est-à-dire que $\mathbb{Z}$ est dense dans la droite affine pour la
+topologie de Zariski.  Plus généralement, on peut facilement montrer
+que les seuls fermés de Zariski de $\mathbb{A}^1(k)$ sont la droite
+$\mathbb{A}^1(k)$ tout entière et les parties \emph{finies}.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Composantes connexes.}
+
+\begin{prop}
+Si $X$ est une variété algébrique affine, alors $X$ est connexe si et
+seulement si les seuls éléments $e \in \mathcal{O}(X)$ vérifiant $e^2
+= e$ (appelés \textbf{idempotents}) sont $0$ et $1$.
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+Toute variété algébrique affine $X$ est réunion d'un nombre fini de
+fermés connexes.  De plus, il existe une écriture $X = \bigcup_{i=1}^n
+X_i$ vérifiant $X_i \cap X_j = \varnothing$ pour $i \neq j$, et une
+telle écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : les $X_i$
+s'appellent les \textbf{composantes connexes} de $X$.
+\end{prop}
+
+\medbreak
+
+\textbf{Composantes irréductibles.}
+
+\begin{prop}
+Toute variété algébrique affine $X$ est réunion d'un nombre fini de
+fermés irréductibles.  De plus, il existe une écriture $X =
+\bigcup_{i=1}^n X_i$ vérifie $X_i \not\subseteq X_j$ pour $i \neq j$,
+et une telle écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : les
+$X_i$ s'appellent les \textbf{composantes irréductibles} de $X$.
+\end{prop}
+
+\textbf{Exemple :} $Z(xy) \subseteq \mathbb{A}^2$ a pour composantes
+irréductibles $Z(x)$ et $Z(y)$.  En revanche, il est connexe (=sa
+seule composante connexe est lui-même) : en effet, si $U$ est un
+ouvert fermé de $Z(xy)$, quitte à remplacer $U$ par son complémentaire
+on peut supposer que $U$ contient $(0,0)$, et alors $U$ est un ouvert
+fermé rencontrant $Z(x)$ et $Z(y)$ à la fois --- mais comme ceux-ci
+sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$
+et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(xy)$.
+
+%
+\subsection{Fonctions régulières sur un ouvert, morphismes}
+
+Soit $X$ une variété algébrique affine sur $k$, et $f \in
+\mathcal{O}(X)$.  On définira \textbf{l'anneau des fonctions
+  régulières} sur l'ouvert principal $D(f) = X \setminus Z(f)$ comme
+le localisé $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ inversant $f$ de l'anneau
+$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières sur $X$.  Autrement dit
+(cf. \ref{subsection-localization}), les fonctions régulières sont
+$D(f)$ sont définies comme des fractions de fonctions régulières
+sur $X$ admettant une puissance de $f$ au dénominateur.
+
+On peut bien les voir comme des fonctions : si $x \in D(f)$, cela
+signifie que $x \in X$ et que $f(x) \neq 0$, ce qui permet d'évaluer
+en $x$ une fonction de la forme $\frac{g}{f^n}$.
+
+\textbf{Exemple :} Les fonctions régulières sur
+$\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ (la droite affine privée de l'origine,
+c'est-à-dire $D(t)$ dans $\mathbb{A}^1 = \Spec k[t]$) sont les
+fonctions rationnelles de la forme $\frac{g}{t^n}$ avec $n\geq 0$
+(=les fonctions rationnelles n'ayant pas d'autre pôle qu'en zéro).
+Plus généralement, toute fonction rationnelle $h \in k(t)$ peut être
+considérée comme une fonction régulière sur un certain ouvert
+de $\mathbb{A}^1$, à savoir l'ouvert où le dénominateur de $h$ ne
+s'annule pas.
+
+\smallbreak
+
+Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$
+une variété algébrique affine, on appelle \textbf{fonction régulière}
+sur $U := U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r) = X \setminus Z(I)$ la
+donnée d'une fonction $h \colon X \to k$ telle que la restriction de
+$h$ à chaque $D(f_i)$ soit une fonction régulière.  \emph{Fait :} Ceci
+ne dépend pas du choix des $f_i$ engendrant l'idéal $I$.  Ces
+fonctions régulières forment un anneau, noté $\mathcal{O}(U)$.
+
+\smallbreak
+
+Si $U$ est un ouvert de Zariski d'une variété algébrique affine $X$,
+et $V$ un ouvert de Zariski d'une variété algébrique affine $Y
+\subseteq \mathbb{A}^e$, on appelle \textbf{morphisme} $U \to V$ une
+application $U \to V$ telle que chacune des $e$ coordonnées à
+l'arrivée soit une fonction régulière sur $U$.  Autrement dit, il
+s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ de
+$\mathcal{O}(U)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in V$ pour tout $x
+\in U$.  Comme précédemment, les fonctions régulières ne sont autres
+que les morphismes vers $\mathbb{A}^1$.  On appellera
+\textbf{isomorphisme} entre $U$ et $V$ la donnée de morphismes $U \to
+V$ et $V \to U$ dont la composée chaque sens est l'identité.
+
+On appelle \textbf{variété algébrique quasi-affine}, un ouvert d'une
+variété algébrique affine (considérée à isomorphisme près) comme on
+vient de le décrire.
+
+\begin{prop}\label{morphisms-to-affines}
+Si $U$ est une variété algébrique \emph{quasi-affine} et $Y$ une
+variété algébrique \emph{affine}, alors les morphismes $U \to Y$ sont
+en correspondance avec les morphismes $\mathcal{O}(Y) \to
+\mathcal{O}(U)$ (de $k$-algèbres) en envoyant $f\colon U\to Y$ sur
+$f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(U)$ (défini comme le
+morphisme qui envoie une fonction régulière $h \colon Y \to
+\mathbb{A}^1$ sur $f^*(h) := h\circ f \colon U\to \mathbb{A}^1$).
+\end{prop}
+
+Les ouverts \emph{principaux} (les $D(f)$), en fait, n'apportent rien
+de nouveau :
+\begin{prop}
+Si $f\in \mathcal{O}(X)$ avec $X$ une variété algébrique affine, alors
+l'ouvert principal $D(f) = X \setminus Z(f)$ est isomorphe à la
+variété algébrique affine $\Spec \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.
+\end{prop}
+
+En revanche, pour un ouvert quelconque, on obtient véritablement des
+choses nouvelles.
+
+\danger La proposition \ref{morphisms-to-affines} cesse d'être vraie
+si on considère des morphismes entre deux variétés algébriques
+quasi-affines quelconques.  Par exemple, le plan affine $\mathbb{A}^2
+= \Spec k[x,y]$ et le complémentaire $\mathbb{A}^2\setminus\{(0,0)\}$
+de l'origine dans le plan affine ont exactement le même anneau des
+fonctions régulières, pourtant, ces deux variétés quasi-affines ne
+sont pas isomorphes.
+
+Si $U$ est une variété algébrique quasi-affine, il existe un morphisme
+naturel $\psi\colon U \to \Spec \mathcal{O}(U)$ d'après la
+proposition \ref{morphisms-to-affines}, à savoir celui qui correspond
+à l'identité sur $\mathcal{O}(U)$.  On dit que la variété algébrique
+quasi-affine $U$ est \textbf{affine} lorsque $\psi$ est un
+isomorphisme (de façon équivalente, lorsque $U$ est isomorphe à une
+variété algébrique affine telle qu'on l'a définie précédemment).
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3


From a221524f50a3dd5f5f378877f544b1a49df1e027 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 10 May 2011 13:28:42 +0200
Subject: Projective space (start).

---
 notes-geoalg-2011.tex | 157 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 157 insertions(+)

(limited to 'notes-geoalg-2011.tex')

diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex
index 432c3a0..15bb854 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -1121,6 +1121,163 @@ isomorphisme (de façon équivalente, lorsque $U$ est isomorphe à une
 variété algébrique affine telle qu'on l'a définie précédemment).
 
 
+%
+%
+%
+
+\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives}
+
+\subsection{L'espace projectif sur un corps}
+
+Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ (ou juste
+$\mathbb{P}^d$ si $k$ est algébriquement clos et sous-entendu)
+l'ensemble des $(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$
+modulo la relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim
+(x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et
+$(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont colinéaires.  On note $(x_0:\cdots:x_d)$
+(certains auteurs préfèrent $[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de
+$(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette relation d'équivalence.  On peut voir
+$\mathbb{P}^d(k)$ comme l'ensemble des droites vectorielles (=passant
+par l'origine) de $k^{d+1}$.
+
+Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d(k)$, selon
+que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme
+$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien
+$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls).  Le point
+$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point
+$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la
+forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et
+collectivement, « hyperplan à l'infini »).  On peut donc écrire
+$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion
+disjointe de l'ensemble $Z(x_0)(k)$ des points où $x_0 \neq 0$ et de
+celui $D(x_0)(k)$ des points où $x_0 = 0$) ; moralement, on aura envie
+que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert dans $\mathbb{P}^d$ et
+$\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire.  Noter que le choix de
+$x_0$ est arbitraire : on peut voir $\mathbb{P}^d$ comme réunion de
+$d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$ (à savoir
+$D(x_0),\ldots,D(x_d)$).
+
+%
+\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$,
+  Nullstellensatz projectif}
+
+On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins
+pour $k$ algébriquement clos pour le moment).  Il faudra une notion
+d'ouverts et une notion de fonctions régulières.
+
+On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de
+  degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le
+même degré total $\ell$.  L'intérêt de cette remarque est que si
+$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in
+k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$
+ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de
+$(x_0:\cdots:x_d)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d)
+\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ et $D(f)$ son
+complémentaire.
+
+On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f
+\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré
+total $\ell$.  Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties
+homogènes.  Le produit de deux polynômes homogènes de degrés
+respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$.
+
+On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène}
+lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne
+signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes
+homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit
+constitué de polynômes homogènes).  De façon équivalente, il s'agit
+d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$
+est encore dans $I$.  (Démonstration de l'équivalence : si toute
+partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en
+prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties
+homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore
+génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$
+admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si
+$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés
+$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i
+g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$
+de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où
+$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré
+$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.)
+
+(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque
+$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé
+\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un
+\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties.  L'ensemble $Z(I)$
+défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites
+vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.)
+
+Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$
+comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement,
+d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant
+un ensemble de générateurs homogènes de $I$.  Les $Z(I)$ s'appellent
+les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$.  Inversement, si $E$ est
+une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal
+(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$
+s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq
+E$).
+
+\begin{thm}
+Si $k$ est un corps algébriquement clos :
+\begin{itemize}
+\item (Nullstellensatz faible projectif.)  Pour $I$ un idéal homogène
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans
+  $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$
+  contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$
+  (et, par conséquent, de tout degré plus grand).  Un tel idéal
+  s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme].
+\item (Nullstellensatz projectif.)  Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et
+  $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques,
+  décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et
+  les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part.
+\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes
+  premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles
+  de $\mathbb{P}^d$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+\begin{rmk}
+Pour qu'un idéal homogène $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ contienne tous
+les monômes à partir d'un certain degré total $\ell$ (c'est-à-dire,
+qu'il soit irrelevant), il faut et il suffit qu'il contienne tous les
+$t_i^n$ à partir d'un certain $n$.  (En effet, un sens est trivial, et
+pour l'autre sens, si $I$ contient tous les $t_i^n$, alors il contient
+tout monôme de degré $(d+1)n$, puisqu'un tel monôme contient au moins
+un $t_i$ à la puissance $n$.)  Comme il n'y a qu'un nombre fini des
+$t_i$, on peut aussi intervertir les quantificateurs : c'est encore la
+même chose que de dire que pour chaque $i$, l'idéal $I$ contient une
+certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$.
+\end{rmk}
+
+\smallbreak
+
+Les ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$ sont bien sûr, par
+définition, les complémentaires $U(I)$ des fermés de Zariski $Z(I)$.
+Ils peuvent toujours s'écrire de la forme $D(f_1) \cup \cdots \cup
+D(f_r)$ où $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en
+$t_0,\ldots,t_d$.
+
+
+%
+\subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif}
+
+On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace
+affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$).  On sait
+quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes
+sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme
+$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$.  De façon équivalente, il
+s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec
+$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$.  Plus
+généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$
+dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme
+les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$
+homogène de degré $rD$ (ce qui assure que (1) l'évaluation d'une telle
+fonction sur un élément de $\mathbb{P}^d(k)$ a un sens lorsque cet
+élément appartient à $D(f)$, et (2) elle ne dépend pas du représentant
+choisi).
+
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cgit v1.2.3

