From 2e0ace9dbbcf900b20cb81bbf52ff068abf42a37 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 9 May 2011 14:49:07 +0200
Subject: More about morphisms.

---
 notes-geoalg-2011.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 96 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'notes-geoalg-2011.tex')

diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex
index 1e46b5c..cac3dcf 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -629,7 +629,7 @@ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des
 polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$.  Le quotient
 $k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi
 $X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions
-  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$.
+  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$ (ou parfois $k[X]$).
 
 Pourquoi fonctions régulières ?  On peut considérer un élément $f \in
 \mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si
@@ -651,6 +651,8 @@ tout simplement, \emph{les restrictions à $X$ des fonctions
 Dans le cas où $X = \mathbb{A}^d = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$),
 évidemment, $\mathcal{O}(\mathbb{A}^d) = k[t_1,\ldots,t_d]$.
 
+\smallbreak
+
 On définit un \textbf{fermé de Zariski de $X$} comme un fermé de
 Zariski de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$.  La bonne
 nouvelle est que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et
@@ -706,13 +708,13 @@ $\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, qui coïncide avec
 l'ensemble des fonctions $X \to k$ qui sont restrictions de fonctions
 polynomiales sur $k^d$.
 
-On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} entre un
-fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y \subseteq
-k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$ coordonnées à
-l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$.  Autrement dit, il
-s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ de
-$\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout $x
-\in X$.
+On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} sur $k$
+entre un fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y
+\subseteq k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$
+coordonnées à l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$.
+Autrement dit, il s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$
+de $\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout
+$x \in X$.
 \begin{prop}
 Si $X = Z(I) \subseteq k^d$ et $Y = Z(J) \subseteq k^e$, et si
 $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$, alors $f = (f_1,\ldots,f_e)$
@@ -775,6 +777,92 @@ dans $\mathcal{O}(Y)$) donc $f_1,\ldots,f_e$ définissent bien un
 morphisme $X \to Y$.
 \end{proof}
 
+\smallbreak
+
+Une fois qu'on dispose de cette notion de morphisme, on peut par
+exemple dire que deux variétés algébriques affines $X,Y$ sont
+\textbf{isomorphes} lorsqu'il existe des morphismes $X \to Y$ et $Y
+\to X$ dont la composée chaque sens est l'identité.  Ceci signifie,
+tout simplement, que les $k$-algèbres $\mathcal{O}(X)$ et
+$\mathcal{O}(Y)$ sont isomorphes.
+
+Ceci justifie partiellement la différence de terminologie entre
+« fermé de Zariski » (dans $k^d$) et « variété algébrique affine »
+(sur $k$) : dans le premier cas, on insiste sur $X$ en tant que partie
+de $k^d$, tandis que dans le second cas on la considère \emph{à
+  isomorphisme près} de variété algébrique affine (sur $k$).
+
+\smallbreak
+
+\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$,
+c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des
+polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement
+clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.  On a
+$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) =
+k[t]$.  On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
+par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme
+d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to
+\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto
+x^3$.  Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
+l'image de $f^*$.  Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une
+bijection au niveau des $k$-points.
+
+Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine)
+d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp =
+Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$.  On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to
+C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme
+est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto
+z$.  L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100
+y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$.  Par ailleurs, le morphisme
+$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme
+la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la
+projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$.
+
+Sur le cercle $C = Z(x^2+y^2-1)$ (pas le même $C$ que dans les deux
+paragraphes précédents), si $k$ est de caractéristique $\neq 5$, on
+peut définir le morphisme $C \to C$ de « rotation
+  d'angle $\arctan\frac{3}{4}$ » (terminologie abusive si $k$ n'est
+pas un corps contenant $\mathbb{R}$) ou « multiplication par le
+  point $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ » par $(x,y) \mapsto (\frac{4}{5}x
+- \frac{3}{5}y, \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y)$.  C'est un isomorphisme
+de $C$ avec lui-même.  On pourrait définir l'opération de composition
+$C \times C \to C$ par $((x,y),(x',y')) \mapsto (xx'-yy', xy'+yx')$
+mais il faudrait pour cela avoir défini le produit de deux variétés
+(pour donner un sens à $C \times C$), ce qu'on n'a pas encore fait.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une
+  algèbre.}
+
+\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines)
+sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de
+Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$
+dans lequel ils vivent.  Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$
+décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite,
+mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$
+puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe.  Ou, si on préfère, un
+fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété
+algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci
+dans $\mathbb{A}^d$.
+
+Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on
+rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$
+est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments
+$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier)
+et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau
+$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le
+$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations
+$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$.  Cette variété
+est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que
+$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$
+sont isomorphes, justement).  On peut donc donner un nom à $X$ : c'est
+le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$.  (Par exemple, $\Spec k[t]
+= \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] =
+\mathbb{A}^d_k$.  Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point.  Quant
+à l'ensemble vide, c'est $\Spec 0$ où $0$ est l'anneau nul.)
+
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

