From c24fbd867a06d05bc70d0829a5615678a95455d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 12 May 2011 22:06:50 +0200
Subject: Differential and smoothness of morphisms.

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@@ -1863,7 +1863,7 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
 
 
 %
-\subsection{Vecteurs tangents et points lisses}
+\subsection{Vecteurs tangents, points lisses, et différentielles}
 \label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points}
 
 Si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ est une variété affine où $I$ est
@@ -1971,6 +1971,48 @@ reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le
 dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible
 que prend la matrice des dérivés partielles).
 
+\medbreak
+
+\textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un
+morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement
+clos $k$ et $x \in X(k)$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to
+T_{h(x)} Y$ qui est définie de la façon suivante.  Quitte à remplacer
+$X$ par un voisinage affine de $x$ et $Y$ par un voisinage affine de
+$h(x)$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affines.  Dans ce cadre,
+si $X$ est défini par des équations\footnote{Ce genre de formulation
+  sous-entend non seulement que $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ mais, plus
+  fortement, que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est \emph{radical},
+  c'est-à-dire que c'est $\mathfrak{I}(X)$.} $f_1=\cdots=f_r = 0$
+dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des
+$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
+  t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$
+dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des
+$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial
+  u_j}(y_1,\ldots,y_d)\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des
+polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$)
+envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur
+$(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100 h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors
+$dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur $(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i =
+\sum_{j=1}^d \frac{\partial h_i}{\partial t_j}\, v_j$ (et la condition
+souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial
+  u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une conséquence de la formule des
+dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a
+$\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial u_j} \frac{\partial
+  h_j}{\partial t_l} = 0$).  Cette application $dh_x$ est linéaire
+(pour chaque $x$ donné) : on l'appelle \textbf{différentielle} du
+morphisme $h$ au point $x$.
+
+\textbf{Lissité des morphismes.}  On ne définira le concept de
+morphisme lisse entre variétés quasiprojectives $X \to Y$ que lorsque
+$Y$ elle-même est lisse.  Plus exactement, on dit qu'un morphisme $X
+\buildrel h\over\to Y$ est \emph{lisse} en un point $x \in X$ tel que
+$Y$ soit lisse en $h(x)$, lorsque $dh_x \colon T_x X \to T_{h(x)} Y$
+est \emph{surjective}.  On dit qu'un morphisme $X \to Y$, avec $Y$
+lisse, est lisse (partout) lorsque la différentielle est surjective en
+tout point.  Une conséquence importante de la lissité de $h$ est que
+la fibre $h^{-1}(y)$ est elle-même lisse (en tant que variété, un
+fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$.
+
 
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