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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 11 May 2011 19:24:52 +0200
Subject: Projective and quasiprojective varieties.

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 notes-geoalg-2011.tex | 219 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
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@@ -1095,7 +1095,7 @@ morphisme qui envoie une fonction régulière $h \colon Y \to
 
 Les ouverts \emph{principaux} (les $D(f)$), en fait, n'apportent rien
 de nouveau :
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{principal-open-sets-are-affine}
 Si $f\in \mathcal{O}(X)$ avec $X$ une variété algébrique affine, alors
 l'ouvert principal $D(f) = X \setminus Z(f)$ est isomorphe à la
 variété algébrique affine $\Spec \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.
@@ -1120,6 +1120,11 @@ quasi-affine $U$ est \textbf{affine} lorsque $\psi$ est un
 isomorphisme (de façon équivalente, lorsque $U$ est isomorphe à une
 variété algébrique affine telle qu'on l'a définie précédemment).
 
+La proposition \ref{principal-open-sets-are-affine} a pour conséquence
+utile le fait que tout point d'une variété algébrique quasi-affine a
+un \emph{voisinage} affine (autrement dit, « pour l'étude locale, les
+  affines suffisent »).
+
 
 %
 %
@@ -1260,22 +1265,202 @@ $t_0,\ldots,t_d$.
 
 
 %
-\subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif}
-
-On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace
-affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$).  On sait
-quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes
-sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme
-$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$.  De façon équivalente, il
-s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec
-$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$.  Plus
-généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$
-dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme
-les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$
-homogène de degré $rD$ (ce qui assure que (1) l'évaluation d'une telle
-fonction sur un élément de $\mathbb{P}^d(k)$ a un sens lorsque cet
-élément appartient à $D(f)$, et (2) elle ne dépend pas du représentant
-choisi).
+\subsection{Le lien affine-projectif}\label{subsection-affine-vs-projective}
+
+On a déjà signalé que $\mathbb{P}^d$ est la réunion des $d+1$ ouverts
+$D(t_0),\ldots,D(t_d)$, qu'on veut considérer comme $d+1$ espaces
+affines, ou $d+1$ copies de l'espace affine $\mathbb{A}^d$.  Il faut
+considérer que les coordonnées affines sur $D(t_i)$ sont les
+$\frac{t_j}{t_i}$ avec $j\neq i$ (ce qui fait $d$ coordonnées).
+
+Le lien affine-projectif est explicité par les affirmations
+suivantes :
+\begin{itemize}
+\item Si $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène de degré $\ell$,
+  l'intersection de $Z(f) \subseteq \mathbb{P}^d$ avec $D(t_i)$ est
+  donnée par $Z(\frac{f}{t_i^\ell}) \subseteq \mathbb{A}^d$ en voyant
+  $\frac{f}{t_i^\ell}$ comme un polynôme en les $\frac{t_j}{t_i}$.
+\item Plus généralement, si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ est le
+  fermé de Zariski défini par un idéal homogène $I$ de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$, l'intersection de $X$ avec $D(t_i)$ est la
+  variété affine $Z(I_{t_i}) \subseteq \mathbb{A}^d$ où $I_{t_i}$ est
+  l'idéal engendré par les $\frac{f_j}{t_i^{\ell_j}}$ pour $f_j$
+  parcourant des générateurs homogènes de $I$ et $\ell_j = \deg f_j$
+  (l'idéal $I_{t_i}$ ne dépend pas du choix des $f_j$).
+\item Bon à savoir : si $I$ est un idéal homogène de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$, alors
+  $k[\frac{t_0}{t_i},\ldots,\frac{t_d}{t_i}]/I_{t_i}$, où $I_{t_i}$
+  est défini ci-dessus, est l'ensemble des éléments homogènes de degré
+  zéro de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$.  L'un ou
+  l'autre, donc, est vu comme l'ensemble des fonctions régulières sur
+  $Z(I) \cap D(t_i)$.
+\item Inversement, donnée un fermé de Zariski $X = Z(I) \subseteq
+  \mathbb{A}^d$ de l'espace affine, où $I$ est un idéal radical de
+  $k[\tau_1,\ldots,\tau_d]$, on peut définir une variété projective
+  $X^+ = Z(I^+)$ dont l'idéal $I^+$ est engendré par les $f^+ :=
+  t_0^{\deg f} f(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}) \in
+  k[t_0,\ldots,t_d]$ pour tous les $f\in I$ (c'est-à-dire les
+  polynômes homogénéisés) : on peut montrer qu'il s'agit précisément
+  de l'adhérence de $X$ dans $\mathbb{P}^d$.  Malheureusement, il ne
+  suffit pas en général de prendre un ensemble de générateurs de $I$
+  pour que leurs homogénéisés engendrent $I^+$ (penser à $I =
+  (\tau_2-\tau_1^2,\; \tau_3-\tau_1^3)$ qui contient
+  $\tau_3-\tau_1\tau_2$ alors que $(t_0 t_2 - t_1^2,\; t_0 t_3 -
+  t_1^3)$ ne contient pas $t_0 t_3-t_1 t_2$, il faut le mettre
+  explicitement dans $I^+$).  Il y a cependant un cas favorable :
+  lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$.
+\end{itemize}
+
+
+%
+\subsection{Variétés projectives et quasi\-projectives, morphismes}
+
+On appelle \textbf{variété algébrique projective},
+resp. \textbf{variété algébrique quasiprojective} un fermé de Zariski
+de l'espace projectif $\mathbb{P}^d$, resp. un ouvert de Zariski d'une
+telle variété (autrement dit, l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
+de Zariski de $\mathbb{P}^d$).
+
+Si $X$ est une variété algébrique projective (resp. quasiprojective)
+dans $\mathbb{P}^d$ et qu'on note $D(t_0),\ldots,D(t_d)$ les $d+1$
+ouverts $\{t_0\neq 0\},\ldots,\{t_d\neq 0\}$ chacun identifié à un
+espace affine $\mathbb{A}^d$, alors, comme expliqué
+en \ref{subsection-affine-vs-projective}, chacun des $X\cap D(t_i)$
+peut être considéré comme une variété algébrique affine
+(resp. quasi-affine).
+
+Comment définir un morphisme entre variétés algébriques projectives ou
+quasiprojectives ?  Moralement, on veut le définir comme une
+application qui est « localement » un morphisme entre variétés
+algébriques affines.
+
+On peut par exemple définir une \textbf{fonction régulière} $h$ sur
+une variété projective ou quasiprojective $X$ comme une fonction
+$h\colon X \to \mathbb{A}^1$ telle que $h|_{X \cap D(t_i)}$ soit une
+fonction régulière sur $X \cap D(t_i)$ pour chaque $i$.  Pour les
+morphismes, la situation est un peu plus compliquée car il faut
+considérer non seulement des recouvrements au départ mais aussi à
+l'arrivée.
+
+Voici une \underline{première définition possible} : si $X \subseteq
+\mathbb{P}^d$ et $Y \subseteq \mathbb{P}^e$ sont deux variétés
+quasiprojectives, un \textbf{morphisme} $X \to Y$ est une fonction
+$h\colon X \to Y$ telle qu'il existe un recouvrement $X =
+\bigcup_\lambda V_\lambda$ [qu'on peut toujours supposer fini] de $X$
+par des ouverts de Zariski $V_\lambda$, chacun complètement contenu
+dans un $D(t_{i_\lambda}) \cong \mathbb{A}^d$ (ce qui permet de
+considérer au moins $V_\lambda$ ou $X \cap D(t_{i_\lambda})$ comme une
+variété quasi-affine) et tel que $h(V_\lambda)$ soit contenu dans un
+$D(u_{j_\lambda}) \cong \mathbb{A}^e$ de $\mathbb{P}^e$ où on a noté
+$(u_0:\cdots:u_e)$ les coordonnées sur $\mathbb{P}^e$ (ceci permet de
+considérer $Y \cap D(u_{j_\lambda})$ comme une variété quasi-affine),
+avec $h|_{V_\lambda} \colon V_\lambda \to (Y \cap D(u_{j_\lambda}))$
+un morphisme (pour chaque $\lambda$).
+
+Décrivons une \underline{autre définition possible}, qui soit un peu
+plus opérationnelle (on admettra, entre autres choses, que ces
+définitions sont bien équivalentes !).  Si $X \subseteq \mathbb{P}^d$
+est une variété quasiprojective, on considère des $(e+1)$-uplets de
+polynômes homogènes $f_0,\ldots,f_e$ \emph{de même degré} en $d+1$
+variables $t_0,\ldots,t_d$.  Un tel $(e+1)$-uplet $f =
+(f_0:\cdots:f_e)$ définit une application $V \to \mathbb{P}^e$ par $x
+\mapsto (f_0(x):\cdots:f_e(x))$, où $V$ est l'ensemble (ouvert de
+Zariski) des points $x$ de $X$ tels que $f_0(x), \ldots, f_e(x)$ ne
+s'annulent pas simultanément.  Un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ est
+une application $h\colon X \to \mathbb{P}^e$ tel que des restrictions
+$h|_{V_\lambda}\colon V_\lambda \to \mathbb{P}^e$ puissent s'écrire
+sous la forme précédente, pour des ouverts $V_\lambda$ recouvrant $X$.
+Si de plus l'image est contenue dans une variété quasiprojective $Y
+\subseteq \mathbb{P}^e$, on pourra dire qu'il s'agit d'un morphisme $X
+\to Y$.
+
+Concrètement, donc, selon cette seconde définition, se donner un
+morphisme $X \to \mathbb{P}^e$, si $X = Z(I)$ est une variété
+projective avec $I$ idéal radical homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$,
+revient à se donner un certain nombre d'écritures
+$(f^{(\lambda)}_0:\cdots:f^{(\lambda)}_e)$ telles que (i) pour
+chaque $\lambda$, les polynômes
+$f^{(\lambda)}_0,\cdots,f^{(\lambda)}_e$ sont homogènes de même degré,
+(ii) les $f^{(\lambda)}_i$ et $I$ (tous ensemble) engendrent un idéal
+irrelevant (ce qui par le Nullstellensatz revient à dire que pour tout
+point de $X = Z(I)$ il y a au moins un $f^{(\lambda)}_i$ qui ne
+s'annule pas), et (iii) $f^{(\lambda)}_i f^{(\mu)}_j - f^{(\lambda)}_j
+f^{(\mu)}_i$ appartient à $I$ pour tous $\lambda,\mu,i,j$ (ce qui
+revient à dire que $(f^{(\lambda)}_0:\cdots:f^{(\lambda)}_e)$ et
+$(f^{(\mu)}_0:\cdots:f^{(\mu)}_e)$ définissent bien la même fonction).
+Pour définir un morphisme $X \to Y$ avec $Y = Z(J)$ une autre variété
+projective, on demande de plus (iv) que, pour chaque $\lambda$, les
+$f^{(\lambda)}_0,\ldots,f^{(\lambda)}_e$ vérifient, modulo $I$, les
+équations données par des générateurs de $J$.
+
+\medbreak
+
+Avant de donner des exemples, citons le fait suivant, qui aide à
+comprendre qu'on a énormément de rigidité dans la définition d'un
+morphisme (notamment, une fois donnée la restriction de celui-ci à un
+ouvert dense $V$, le morphisme est complètement défini) :
+\begin{prop}
+Si $h,h' \colon X \to Y$ sont deux morphismes entre variétés
+quasiprojectives et si $h,h'$ coïncident sur une partie \emph{dense}
+de $X$ (pour la topologie de Zariski), alors $h = h'$.  Plus
+généralement, l'ensemble des points où $h$ et $h'$ coïncident est un
+fermé de $X$.
+\end{prop}
+
+On rappelle que si $X$ est irréductible, alors tout ouvert de $X$ non
+vide est dense (c'est même équivalent).
+
+\medbreak
+
+\textbf{Exemples} de morphismes :
+
+¶ Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation $x^2 + y^2 =
+z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans $\mathbb{P}^2$ de
+coordonnées homogènes $(z:x:y)$ (sur un corps $k$ de
+caractéristique $\neq 2$), et soit le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées
+$(t_0:t_1)$.  On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ par
+$(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$.  Il est
+clair que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to
+\mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent
+tous les monômes de degré $2$ donc un idéal irrelevant ; ensuite,
+comme $(t_0^2-t_1^2)^2 + (2t_0t_1)^2 = (t_0^2+t_1^2)^2$, ce morphisme
+arrive bien dans $C^+$.
+
+Dans l'autre sens : on définit un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ de
+la façon suivante : on commence par l'équation $(z:x:y) \mapsto
+(x+z:y)$, mais ceci ne définit un morphisme que sur l'ouvert
+complémentaire de $Z(x+z,y)$ (c'est-à-dire du point
+$(z:x:y)=(1:-1:0)$).  Il faut donc trouver une autre équation, ou
+plutôt une autre forme, sur un ouvert qui contienne ce point.  Ce
+n'est pas difficile : en se disant que de façon assez générale on a
+$(x+z:y) = ((x+z)(x-z):y(x-z)) = (x^2-z^2:y(x-z)) = (-y^2:y(x-z)) =
+(y:z-x)$, on va considérer $(z:x:y) \mapsto (y:z-x)$, qui est, cette
+fois, défini sur le complémentaire de $Z(y,z-x)$, c'est-à-dire de du
+point $(z:x:y) = (1:1:0)$.  Le calcul qu'on vient de faire montre que
+$(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux
+équations se recollent bien en un unique morphisme $C^+ \to
+\mathbb{P}^1$.
+
+La composée des morphismes qu'on vient de définir est l'identité :
+dans le sens $\mathbb{P}^1 \to C^+ \to \mathbb{P}^1$, c'est clair car
+l'identité s'obtient bien en recollant $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0^2 :
+2t_0 t_1)$ et $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0 t_1 : 2t_1^2)$.  Dans le sens
+$C^+ \to \mathbb{P}^1 \to C^+$, on constate que la composée de
+$(z:x:y) \mapsto (x+z:y)$ avec $(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 :
+t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ donne $(z:x:y) \mapsto (x^2+2xz+z^2+y^2 :
+x^2+2xz+z^2-y^2 : 2xy+2yz)$ ce qui, modulo $x^2+y^2-z^2$, vaut
+$(2z(x+z) : 2x(x+z) : 2y(z+x))$, soit $(z:x:y)$ dès que $x+z\neq 0$.
+Comme l'ouvert $\{x+z\neq0\}$ est dense, ceci suffit à montrer qu'on a
+affaire à l'identité.
+
+On a donc prouvé que le cercle (projectif !) $C^+$ d'équation $x^2+y^2
+= z^2$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$.
+
+\smallbreak
+
+¶ Un exemple avec des variétés ouvertes : $\mathbb{A}^{d+1}
+\setminus\{(0,0)\} \to \mathbb{P}^d$ donné par $(x_0,\ldots,x_d)
+\mapsto (x_0:\cdots:x_d)$.
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

