From cbcffb421086a6caebdd5b544e82d2f6b7cb8869 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 17 Jun 2015 15:14:43 +0200
Subject: Clarify a statement, and fix/clarify a few things in the definition
 of differentials.

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@@ -2071,7 +2071,7 @@ irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$.
 
 Par conséquent, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 +
 \max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles
-de $X$ (et cette définition récursive a bien un sens !).
+de $X$ différents de $X$ (et cette définition récursive a bien un sens !).
 \end{cor}
 
 \begin{thm}
@@ -2200,10 +2200,10 @@ Si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ est une variété affine où $I$ est
 un idéal radical engendré par $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$,
 et si $x \in X(k)$ (on prendra généralement $k$ algébriquement clos
 ici), on appelle \textbf{vecteur tangent à $X$ en $x$} un élément du
-noyau de la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
-  t_j}(x_1,\ldots,x_d)$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$
-tel que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
-  t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$.  Intuitivement, il faut comprendre
+noyau de la matrice $\left.\frac{\partial f_i}{\partial
+  t_j}\right|_{x_1,\ldots,x_d}$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$
+tel que $\sum_{j=1}^d \left.\frac{\partial f_i}{\partial
+  t_j}\right|_{x_1,\ldots,x_d}\, v_j = 0$.  Intuitivement, il faut comprendre
 un tel élément comme un vecteur basé en $(x_1,\ldots,x_d)$ et le
 reliant à $(x_1+v_1 \varepsilon, \ldots, x_d+v_d\varepsilon)$ avec
 $\varepsilon$ infinitésimal ($\varepsilon^2=0$).  L'espace vectoriel
@@ -2315,21 +2315,23 @@ si $X$ est défini par des équations\footnote{Ce genre de formulation
   fortement, que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est \emph{radical},
   c'est-à-dire que c'est $\mathfrak{I}(X)$.} $f_1=\cdots=f_r = 0$
 dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des
-$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
-  t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$
+$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \left.\frac{\partial f_i}{\partial
+  t_j}\right|_{x_1,\ldots,x_d}\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$
 dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des
-$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial
-  u_j}(y_1,\ldots,y_d)\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des
-polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$)
-envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur
+$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \left.\frac{\partial g_i}{\partial
+  u_j}\right|_{y_1,\ldots,y_d}\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des
+polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) \equiv 0$
+modulo $f_1,\ldots,f_r$) envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur
 $(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100 h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors
 $dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur $(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i =
-\sum_{j=1}^d \frac{\partial h_i}{\partial t_j}\, v_j$ (et la condition
-souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial
-  u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une conséquence de la formule des
-dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a
+\sum_{j=1}^d \left.\frac{\partial h_i}{\partial t_j}
+\right|_{x_1,\ldots,x_d}\, v_j$ (et la condition
+souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \left.\frac{\partial g_i}{\partial
+  u_j}\right|_{y_1,\ldots,y_d} = 0$ est une conséquence de la formule des
+dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) \equiv 0$ : on a
 $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial u_j} \frac{\partial
-  h_j}{\partial t_l} = 0$).  Cette application $dh_x$ est linéaire
+  h_j}{\partial t_l}$ combinaison des $\frac{\partial
+f_i}{\partial t_j}$).  Cette application $dh_x$ est linéaire
 (pour chaque $x$ donné) : on l'appelle \textbf{différentielle} du
 morphisme $h$ au point $x$.
 
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