From 06f3a624949c0e0ddec662604b38c0ac4cc942fb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Sun, 23 May 2010 20:10:50 +0200
Subject: Quasi-affine varieties (this is becomming a mess...).

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 notes-geoalg.tex | 129 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------
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@@ -1572,7 +1572,7 @@ sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$
 et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(x,y)$.
 
 %
-\subsection{Structure de variété d'un ouvert principal}
+\subsection{Structure de variété affine d'un ouvert principal}
 
 Pour l'instant, on n'a appelé « variété » qu'un fermé de Zariski.  On
 voudrait étendre le terme de sorte qu'au moins les \emph{ouverts} de
@@ -1674,14 +1674,11 @@ désigne le morphisme naturel vers le localisé :
 De ce principe découlent :
 \begin{defn}
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine,
-l'anneau des fonctions régulières sur $D(f)$ sera par définition
-$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.  La \textbf{restriction} $h|_{D(f)}$
-d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$ sera par
-définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.
-
-Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de
-$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que
-$f(x) \in A$ soit inversible.
+l'anneau $\mathcal{O}(D(f))$ des fonctions régulières sur $D(f)$ sera
+par définition $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.  La \textbf{restriction}
+$h|_{D(f)}$ d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$
+sera par définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in
+\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.
 
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et
 $Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera
@@ -1692,6 +1689,12 @@ vu plongé comme un fermé de Zariski de $\mathbb{A}^e$, comme $e$
 éléments de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ vérifiant les équations
 de $Y$).
 
+Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de
+$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que
+$f(x) \in A$ soit inversible.  (Et si $A \buildrel\varphi\over\to A'$
+est un morphisme d'anneaux, $U(I)(\varphi)\colon U(I)(A) \to U(I)(A')$
+est la restriction de $X(\varphi)\colon X(A) \to X(A')$ à $U(I)(A)$.)
+
 Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et
 $X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera
 identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que
@@ -1711,6 +1714,12 @@ morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to
 
 De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée !
 
+Lorsque $\mathcal{O}(X)$ est intègre (c'est-à-dire que la variété $X$
+est irréductible), on peut voir $\mathcal{O}(D(f))$ de façon simple à
+l'intérieur du corps des fractions de $\mathcal{O}(X)$ : ce sont les
+éléments de $\Frac(\mathcal{O}(X))$ qui peuvent s'écrire comme
+une fraction dont le dénominateur est une puissance de $f$.
+
 
 %
 \subsection{Introduction au recollement}
@@ -1803,19 +1812,113 @@ nécessairement affines, selon le principe général vague suivant :
 Une variété algébrique non nécessairement affine $X$ est obtenue en
 « recollant » des variétés algébriques affines $X_i$ ; une fonction
 régulière sur $X$ est la donnée d'une fonction régulière sur chaque
-$X_i$ qui coïncident aux intersections.
+$X_i$ qui coïncident aux intersections ; un morphisme de $X$ vers une
+variété algébrique affine $Y$ est, de même, la donnée de morphismes
+$X_i \to Y$ qui se recollent.
+
+On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque le morphisme $X \to \Spec
+\mathcal{O}(X)$, où $\mathcal{O}(X)$ est l'anneau des fonctions
+régulières sur $X$, défini naturellement, est, en fait, un
+isomorphisme.
 \end{princ}
 
 
+%
+\subsection{Variétés algébriques quasi-affines}
+
+Une variété algébrique quasi-affine est un ouvert \emph{non
+  nécessairement principal} d'une variété algébrique affine $X$,
+c'est-à-dire, d'un fermé de Zariski dans l'espace affine.  Un tel
+ouvert peut s'écrire $U(I) := X \setminus Z(I)$ avec $I$ idéal
+de $\mathcal{O}(X)$, et il est recouvert par des $D(f_i)$ lorsque les
+$f_i$ engendrent l'idéal $I$.
+
+\begin{defn}
+Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété
+algébrique affine, une fonction régulière sur $U(I) := X \setminus
+Z(I)$ sera par définition la donnée d'une fonction régulière $h_i$ sur
+chaque $D(f_i)$ où les $f_i \in \mathcal{O}(X)$ engendrent $I$, telles
+que $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on identifie
+deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les
+intersections possibles.
+
+Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété
+algébrique affine, et $Y$ est une variété algébrique affine, un
+morphisme $U(I) \to Y$ sera identifié à la donnée d'un morphisme
+$D(f_i) \to Y$ pour chaque $f_i$ où les $f_i \in \mathcal{O}(X)$
+engendrent $I$, qui coïncident sur les $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on
+identifie deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les
+intersections possibles.
+
+Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $U(I)(A)$ des $A$-points de
+$U(I)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que
+les $f(x) \in A$ pour $f \in I$ engendrent l'idéal unité de $A$.  (Et
+si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ est un morphisme d'anneaux,
+$U(I)(\varphi)\colon U(I)(A) \to U(I)(A')$ est la restriction de
+$X(\varphi)\colon X(A) \to X(A')$ à $U(I)(A)$.)
+
+Si $J$ est un idéal de $\mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété
+algébrique affine (et toujours $I$ un idéal de $\mathcal{O}(X)$ comme
+ci-dessus), un morphisme $U(I) \to U(J)$ sera identifié à la donnée
+d'éléments $f_i$ engrendant $I$ et $g_i$ appartenant à $J$, indicés
+par le même ensemble, et de morphismes $h_i \colon D(f_i) \to D(g_i)$,
+tels que $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on
+identifie deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les
+intersections possibles.
+\end{defn}
+
+Entre autres vérifications de cohérence de ces définitions :
+\begin{prop}
+Avec les notations ci-dessus, la donnée d'un morphisme $U(I) \buildrel
+h\over\to U(J)$ équivaut à celle d'une application $U(I)(A) \buildrel
+h(A)\over\to U(J)(A)$ pour chaque $k$-algèbre $A$ telles que : si $A
+\buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, alors les
+deux composées $U(I)(A) \buildrel U(I)(\psi)\over\to U(I)(A')
+\buildrel h(A')\over\to U(J)(A')$ et $U(I)(A) \buildrel h(A)\over\to
+U(J)(A) \buildrel U(J)(\psi)\over\to U(J)(A')$ coïncident (cf. lemme
+de Yoneda).
+\end{prop}
+
+Lorsque $\mathcal{O}(X)$ est intègre (c'est-à-dire que la variété $X$
+est irréductible), on peut voir $\mathcal{O}(U(I))$ de façon simple à
+l'intérieur du corps des fractions de $\mathcal{O}(X)$ : ce sont les
+éléments de $\Frac(\mathcal{O}(X))$ qui peuvent s'écrire comme une
+fraction dont le dénominateur est une puissance de $f_i$ pour
+n'importe quel $f_i$ d'une famille engendrant $I$.
+
+\smallbreak
+
+Pour tout ouvert $U$, on a un morphisme de variétés algébriques $U \to
+X$ appelé \textbf{immersion ouverte} de $U$ dans $X$.
+
+\medbreak
+
+Pour tout ouvert $U$ d'une $k$-variété algébrique affine $X$, l'anneau
+$\mathcal{O}(U)$ est une $k$-algèbre de type fini, et on a un
+morphisme de variétés algébriques $U \to \Spec \mathcal{O}(U)$ (défini
+en considérant un recouvrement quelconque de $U$ par des $D(f_i)$ et
+en recollant les morphismes $D(f_i) \to \Spec \mathcal{O}(U)$ donnés
+par les $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f_i}]$) : lorsque
+ce morphisme est un isomorphisme, l'ouvert $U$ est dit \emph{affine}.
+Un ouvert principal est toujours affine.  Un ouvert peut être affine
+sans être principal, mais c'est généralement assez difficile à
+détecter.  Remarquons cependant si $U = U(\{x,y\}) = D(x) \cup D(y)$
+est le complémentaire de l'origine dans $\mathbb{A}^2$, alors $U$
+n'est pas affine, car $\mathcal{O}(U) = k[x,y]$ (en effet, $k[x,y]$
+est un anneau factoriel, donc une fraction rationnelle en deux
+variables $x,y$ admet une forme simplifiée unique à scalaire près, et
+si elle peut s'écrire avec une puissance de $x$ ou une puissance de
+$y$ comme dénominateurs, il s'agit simplement d'un polynôme), et le
+morphisme $U \to \Spec\mathcal{O}(U)$ est l'immersion ouverte de $U$
+dans $\mathbb{A}^2$, qui n'est pas un isomorphisme.
+
+
 %
 %
 %
 
 \section{TODO}
 
-Recollements !  Voir les variétés quasi-affines comme des recollements
-d'ouverts principaux.
-
 Produit de variétés (après l'espace projectif, peut-être ?).
 
 Introduction à l'espace projectif.  Variétés quasiprojectives sur un
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cgit v1.2.3

