From 17250277bd970a7b95b31c3f4bc37d05045580bb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 20 May 2010 16:34:03 +0200
Subject: More clarifications on morphisms, closed immersions, restrictions...

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 notes-geoalg.tex | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------
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@@ -1017,6 +1017,16 @@ Avec les notations ci-dessus :
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
+\smallbreak
+
+Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$
+(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal
+de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X)
+\to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to
+\mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction
+régulière $f$ sur $X$ sur sa \emph{restriction} à $X'$, parfois
+notée $f|_{X'}$.
+
 %
 \subsection{Points à valeurs dans une $k$-algèbre}
 
@@ -1140,12 +1150,13 @@ Un morphisme de $k$-variétés algébriques affines $f\colon X \to Y$ est
 \end{center}
 
 Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme
-$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ serait celui qui envoie un élément
-$h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$.
-Réci\-pro\-quement, donné un morphisme $\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to
-\mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le morphisme $X \to Y$ qui lui correspond
-est celui qui à un point $x \in X$ associe le $y \in Y$ défini par
-$h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$.
+$\mathcal{O}(Y) \buildrel f^*\over \to \mathcal{O}(X)$ serait celui
+qui envoie un élément $h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e)
+\in \mathcal{O}(X)$.  Réciproquement, donné un morphisme
+$\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le
+morphisme $X \to Y$ qui lui correspond est celui qui à un point $x \in
+X$ associe le $y \in Y$ défini par $h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h
+\in \mathcal{O}(Y)$.
 
 \smallbreak
 
@@ -1172,14 +1183,18 @@ par différentes données plus ou moins équivalentes :
 \item un élément de $Y(\mathcal{O}(X))$,
 \item un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$,
 \item pour chaque $k$-algèbre $A$, une application $X(A) \buildrel
-  f(A)\over\to Y(A)$ telle que si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un
-  morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel
-  X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A)
-  \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$
+  f(A)\over\to Y(A)$ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est
+  un morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A)
+  \buildrel X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et
+  $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$
   coïncident (cf. lemme de Yoneda).
 \end{itemize}
 On aura tendance à confondre silencieusement tout ou partie de ces
-objets.
+objets.  Par ailleurs, on a tendance à appeler $x \mapsto
+(f_1(x),\ldots,f_e(x))$ le morphisme, comme s'il s'agissait simplement
+d'une application (il faut considérer ça comme une application de
+$X(k)$ vers $Y(k)$ définissant le morphisme ou, mieux, de $X(A)$ vers
+$Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$).
 
 Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est
 pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la
@@ -1187,11 +1202,12 @@ dernière est, de ce point de vue, la plus robuste.
 
 \smallbreak
 
-\textbf{Un exemple :} Considérons $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in
-k[x,y]$ (anneau des polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps
-algébriquement clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.
-On a $\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)
-= k[t]$.  On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
+\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$,
+c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des
+polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement
+clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.  On a
+$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) =
+k[t]$.  On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
 par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme
 d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to
 \mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto
@@ -1199,6 +1215,35 @@ x^3$.  Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
 l'image de $f^*$.  Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une
 bijection au niveau des $k$-points.
 
+Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine)
+d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp =
+Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$.  On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to
+C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme
+est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto
+z$.  L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100
+y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$.  Par ailleurs, le morphisme
+$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme
+la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la
+projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$.
+
+\smallbreak
+
+Si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$, on a expliqué qu'il y avait
+naturellement un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to
+\mathcal{O}(X')$ (consistant à restreindre à $X'$ une fonction
+régulière sur $X$) : le morphisme de variétés algébriques $X' \to X$
+qui lui est associé est tout simplement le morphisme d'inclusion de
+$X'$ dans $X$, qu'on appelle \textbf{immersion fermée} ou
+\textbf{plongement} de la sous-variété fermée $X'$ dans $X$.
+
+De façon très liée, si $f \colon X\to Y$ est un morphisme de
+$k$-variétés on peut, dans ce contexte, définir la restriction de $f$
+à $X'$ (parfois notée $f|_{X'}$) comme la composée $X' \to X \to Y$ où
+$X' \to X$ est l'immersion de $X'$ dans $X$ ; si on voit $f$ comme
+défini par $e$ fonctions régulières sur $X$ (c'est-à-dire $Y$ plongé
+dans $\mathbb{A}^e$), les fonctions définissant $f|_{X'}$ sont
+simplement $f_1|_{X'},\ldots,f_e|_{X'}$.
+
 %
 \subsection{Ouverts de Zariski et variétés quasi-affines}
 
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