From 270bbd036c0bae0eb912339248b98cea5c2a55c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Thu, 3 Jun 2010 18:12:08 +0200
Subject: Crash-course in Galois theory, varieties over a nonclosed field.

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@@ -43,6 +43,8 @@
 \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
 \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
 \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
+\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
+\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
@@ -2724,6 +2726,152 @@ précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de
 $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$.
 
 
+%
+%
+%
+
+\section{Géométrie algébrique sur un corps non algébriquement clos}
+
+\subsection{Crash-course de théorie de Galois}
+
+Rappel : corps parfait = corps de caractéristique $0$ \emph{ou} de
+caractéristique $p$ tel que tout élément ait une racine $p$-ième =
+corps tel que tout polynôme irréductible soit à racines simples sur la
+clôture algébrique.  Exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$,
+$\mathbb{F}_q$ sont parfaits.  Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$
+n'est pas parfait ($t$ n'a pas de racine $p$-ième).
+
+Si $k$ est un corps parfait (et qu'on en fixe une fois pour toutes une
+clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle
+\textbf{groupe de Galois absolu} de $k$ le groupe des automorphismes
+de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe
+(i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$).
+
+\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}},
+(z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$.  Si $k$ est
+algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial.  Si $k = \mathbb{F}_q$
+est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les
+puissances $\Frob_q^i \colon x \mapsto x^{q^i}$ du Frobenius
+$\Frob_q\colon x \mapsto x^q$ ; il contient en fait d'autres éléments,
+mais « en gros » il n'y a que les puissances du Frobenius (au sens :
+la restriction de tout $\sigma \in \Gamma_{\mathbb{F}_q}$ à un
+$\mathbb{F}_{q^n}$ est de la forme $\Frob_q^i$ pour un certain $i \in
+\mathbb{Z}$ (qu'on peut voir dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si on
+préfère).
+
+\begin{thm}\label{rationnel-ssi-fixe-par-galois}
+Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un
+élément $x$ de $k^{\alg}$ appartient à $k$ si [et seulement si, mais
+  ça c'est juste la définition de $\Gamma_k$] on a $\sigma(x) = x$
+pour tout $\sigma \in \Gamma_k$.
+\end{thm}
+
+Slogan : « rationnel = fixé par Galois ».
+
+Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique (on note parfois ça
+$K/k$, mauvaise notation car elle fait penser à un quotient), si $k$
+est parfait alors $K$ l'est aussi, et $\Gamma_{K}$ est un sous-groupe
+de $\Gamma_k$.  Ce sous-groupe est \emph{distingué} exactement lorsque
+$\sigma(K) = K$ (c'est-à-dire $K$ est \emph{globalement} stable
+par $\sigma$, pas nécessairement fixé point à point) pour tout
+$\sigma\in\Gamma_k$ : dans ce cas on dit que $K$ est une
+\textbf{extension galoisienne} de $k$, et on pose $\Gal(k\subseteq K)
+= \Gamma_k/\Gamma_{K}$, qui s'appelle groupe de Galois de l'extension
+$k \subseteq K$.  Il peut se voir comme l'ensemble des automorphismes
+de $K$ laissant $k$ fixe.  Remarque : si $\Gamma_k$ est abélien (c'est
+le cas de $\mathbb{F}_q$), \emph{toute} extension algébrique de $k$
+est galoisienne.
+
+\begin{thm}
+\begin{itemize}
+\item Si $k\subseteq K$ est une extension finie (donc algébrique)
+  galoisienne, alors un élément $x$ de $K$ appartient à $k$ si [et
+    seulement si] on a $\sigma(x) = x$ pour tout $\sigma \in
+  \Gal(k\subseteq K)$.  De plus, il y a une bijection entre extensions
+  intermédiaires $k \subseteq E \subseteq K$ et sous-groupes de
+  $\Gal(k\subseteq K)$ donnée par $E \mapsto \Gamma_E/\Gamma_K =
+  \Gal(E\subseteq K)$ et réciproquement $H \mapsto \{x \in K
+  :\penalty-100 (\forall \sigma \in H)\, \sigma(x)=x\}$.  (Note :
+  l'extension $E \subseteq K$ est toujours galoisienne (on rappelle
+  que $k \subseteq K$ était supposée l'être !), et $k \subseteq E$
+  l'est lorsque $\Gal(E\subseteq K)$ est distingué dans
+  $\Gal(k\subseteq K)$.)
+\item Version absolue : pour $k$ parfait, il y a une bijection entre
+  les extensions finies (et en particulier, algébriques) $k\subseteq
+  K$ de $k$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée, et les
+  sous-groupes de $\Gamma_k$ qui sont « ouverts » au sens où ils
+  contiennent un $\Gamma_{k'}$ pour $k'$ extension finie de $k$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+La première partie du résultat suivant est une conséquence triviale
+de \ref{rationnel-ssi-fixe-par-galois}, la seconde est beaucoup plus
+subtile.
+\begin{thm}
+Pour $k$ parfait :
+\begin{itemize}
+\item Si $x \in \mathbb{A}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors
+  $x \in \mathbb{A}^d(k)$ (au sens où ses coordonnées affines sont
+  dans $k$).
+\item Si $x \in \mathbb{P}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors
+  $x \in \mathbb{P}^d(k)$ (au sens où \emph{il admet} des coordonnées
+  homogènes dans $k$).
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+
+\subsection{Variétés sur un corps non algébriquement clos}
+
+Soit $k$ un corps parfait.  Si $I$ est un idéal de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit l'idéal $I_{k^{\alg}} := I\cdot
+k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ engendré par $I$ dans
+$k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+\begin{prop}
+\begin{itemize}
+\item L'idéal $I_{k^{\alg}}$ est radical si et seulement si $I$ l'est.
+\item Un idéal $J$ de $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
+  $I_{k^{\alg}}$ pour $I$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si et seulement
+  si $\sigma(J) = J$ pour tout $\sigma \in \Gamma_k$.  Lorsque c'est
+  le cas, $I = J \cap k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\item Lorsque $J$ est radical, c'est le cas (=$J$ est de la
+  forme $I_{k^{\alg}}$) si et seulement si $\sigma(Z(J)) = Z(J)$ (où
+  ici $Z(J)$ désigne $Z(J)(k^{\alg})$, les $k^{\alg}$-points
+  de $Z(J)$).  Remarque : $Z(J)(k^{\alg}) = Z(I)(k^{\alg})$.
+\item On a des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion,
+  entre idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et fermés de Zariski de
+  $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ stables par Galois, donnée par $I \mapsto
+  Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E) \cap
+  k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+On qualifiera un fermé de Zariski $X$ de $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$
+stable par Galois de $k$-variété algébrique affine.  On a alors un
+ensemble de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les
+points dont les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont
+fixées par Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien
+être vide sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne
+que sur un corps algébriquement clos).  Par exemple, $Z(x^2+y^2+1)
+\subseteq \mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine
+sur $\mathbb{R}$ qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point.
+
+La même chose fonctionne en projectif : on a des bijections
+réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre idéaux homogènes
+radicaux de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ et
+fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k^{\alg})$ stables par Galois,
+donnée par $I \mapsto Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto
+\mathfrak{I}(E) \cap k[t_0,\ldots,t_d]$.
+
+On appelle variété quasiprojective sur $k$ une variété quasiprojective
+$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois.
+On peut donc définir une action de Galois sur $X(k^{\alg})$, et $X(k)$
+est l'ensemble des points fixés par Galois (et pour toute extension
+$k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le sous-ensemble de $X(k^{\alg})$
+fixé par $\Gamma_{k'}$).
+
+
 
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@@ -2733,9 +2881,6 @@ $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$.
 
 Un peu de théorie de la dimension.  Un chouïa de calcul différentiel ?
 
-Crash-course de théorie de Galois.  Variétés sur un corps pas
-algébriquement clos.
-
 Bases de Gröbner.
 
 Courbes et corps de dimension $1$.  But : arriver à Riemann-Roch.
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cgit v1.2.3

