From 270bbd036c0bae0eb912339248b98cea5c2a55c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 3 Jun 2010 18:12:08 +0200 Subject: Crash-course in Galois theory, varieties over a nonclosed field. --- notes-geoalg.tex | 151 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 148 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'notes-geoalg.tex') diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 758bb78..bbac1e5 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -43,6 +43,8 @@ \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -2724,6 +2726,152 @@ précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$. +% +% +% + +\section{Géométrie algébrique sur un corps non algébriquement clos} + +\subsection{Crash-course de théorie de Galois} + +Rappel : corps parfait = corps de caractéristique $0$ \emph{ou} de +caractéristique $p$ tel que tout élément ait une racine $p$-ième = +corps tel que tout polynôme irréductible soit à racines simples sur la +clôture algébrique. Exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, +$\mathbb{F}_q$ sont parfaits. Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$ +n'est pas parfait ($t$ n'a pas de racine $p$-ième). + +Si $k$ est un corps parfait (et qu'on en fixe une fois pour toutes une +clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle +\textbf{groupe de Galois absolu} de $k$ le groupe des automorphismes +de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe +(i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$). + +\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, +(z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$. Si $k$ est +algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial. Si $k = \mathbb{F}_q$ +est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les +puissances $\Frob_q^i \colon x \mapsto x^{q^i}$ du Frobenius +$\Frob_q\colon x \mapsto x^q$ ; il contient en fait d'autres éléments, +mais « en gros » il n'y a que les puissances du Frobenius (au sens : +la restriction de tout $\sigma \in \Gamma_{\mathbb{F}_q}$ à un +$\mathbb{F}_{q^n}$ est de la forme $\Frob_q^i$ pour un certain $i \in +\mathbb{Z}$ (qu'on peut voir dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si on +préfère). + +\begin{thm}\label{rationnel-ssi-fixe-par-galois} +Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un +élément $x$ de $k^{\alg}$ appartient à $k$ si [et seulement si, mais + ça c'est juste la définition de $\Gamma_k$] on a $\sigma(x) = x$ +pour tout $\sigma \in \Gamma_k$. +\end{thm} + +Slogan : « rationnel = fixé par Galois ». + +Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique (on note parfois ça +$K/k$, mauvaise notation car elle fait penser à un quotient), si $k$ +est parfait alors $K$ l'est aussi, et $\Gamma_{K}$ est un sous-groupe +de $\Gamma_k$. Ce sous-groupe est \emph{distingué} exactement lorsque +$\sigma(K) = K$ (c'est-à-dire $K$ est \emph{globalement} stable +par $\sigma$, pas nécessairement fixé point à point) pour tout +$\sigma\in\Gamma_k$ : dans ce cas on dit que $K$ est une +\textbf{extension galoisienne} de $k$, et on pose $\Gal(k\subseteq K) += \Gamma_k/\Gamma_{K}$, qui s'appelle groupe de Galois de l'extension +$k \subseteq K$. Il peut se voir comme l'ensemble des automorphismes +de $K$ laissant $k$ fixe. Remarque : si $\Gamma_k$ est abélien (c'est +le cas de $\mathbb{F}_q$), \emph{toute} extension algébrique de $k$ +est galoisienne. + +\begin{thm} +\begin{itemize} +\item Si $k\subseteq K$ est une extension finie (donc algébrique) + galoisienne, alors un élément $x$ de $K$ appartient à $k$ si [et + seulement si] on a $\sigma(x) = x$ pour tout $\sigma \in + \Gal(k\subseteq K)$. De plus, il y a une bijection entre extensions + intermédiaires $k \subseteq E \subseteq K$ et sous-groupes de + $\Gal(k\subseteq K)$ donnée par $E \mapsto \Gamma_E/\Gamma_K = + \Gal(E\subseteq K)$ et réciproquement $H \mapsto \{x \in K + :\penalty-100 (\forall \sigma \in H)\, \sigma(x)=x\}$. (Note : + l'extension $E \subseteq K$ est toujours galoisienne (on rappelle + que $k \subseteq K$ était supposée l'être !), et $k \subseteq E$ + l'est lorsque $\Gal(E\subseteq K)$ est distingué dans + $\Gal(k\subseteq K)$.) +\item Version absolue : pour $k$ parfait, il y a une bijection entre + les extensions finies (et en particulier, algébriques) $k\subseteq + K$ de $k$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée, et les + sous-groupes de $\Gamma_k$ qui sont « ouverts » au sens où ils + contiennent un $\Gamma_{k'}$ pour $k'$ extension finie de $k$. +\end{itemize} +\end{thm} + +La première partie du résultat suivant est une conséquence triviale +de \ref{rationnel-ssi-fixe-par-galois}, la seconde est beaucoup plus +subtile. +\begin{thm} +Pour $k$ parfait : +\begin{itemize} +\item Si $x \in \mathbb{A}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors + $x \in \mathbb{A}^d(k)$ (au sens où ses coordonnées affines sont + dans $k$). +\item Si $x \in \mathbb{P}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors + $x \in \mathbb{P}^d(k)$ (au sens où \emph{il admet} des coordonnées + homogènes dans $k$). +\end{itemize} +\end{thm} + + + +\subsection{Variétés sur un corps non algébriquement clos} + +Soit $k$ un corps parfait. Si $I$ est un idéal de +$k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit l'idéal $I_{k^{\alg}} := I\cdot +k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ engendré par $I$ dans +$k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$. + +\begin{prop} +\begin{itemize} +\item L'idéal $I_{k^{\alg}}$ est radical si et seulement si $I$ l'est. +\item Un idéal $J$ de $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme + $I_{k^{\alg}}$ pour $I$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si et seulement + si $\sigma(J) = J$ pour tout $\sigma \in \Gamma_k$. Lorsque c'est + le cas, $I = J \cap k[t_1,\ldots,t_d]$. +\item Lorsque $J$ est radical, c'est le cas (=$J$ est de la + forme $I_{k^{\alg}}$) si et seulement si $\sigma(Z(J)) = Z(J)$ (où + ici $Z(J)$ désigne $Z(J)(k^{\alg})$, les $k^{\alg}$-points + de $Z(J)$). Remarque : $Z(J)(k^{\alg}) = Z(I)(k^{\alg})$. +\item On a des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, + entre idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et fermés de Zariski de + $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ stables par Galois, donnée par $I \mapsto + Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E) \cap + k[t_1,\ldots,t_d]$. +\end{itemize} +\end{prop} + +On qualifiera un fermé de Zariski $X$ de $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ +stable par Galois de $k$-variété algébrique affine. On a alors un +ensemble de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les +points dont les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont +fixées par Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien +être vide sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne +que sur un corps algébriquement clos). Par exemple, $Z(x^2+y^2+1) +\subseteq \mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine +sur $\mathbb{R}$ qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point. + +La même chose fonctionne en projectif : on a des bijections +réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre idéaux homogènes +radicaux de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ et +fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k^{\alg})$ stables par Galois, +donnée par $I \mapsto Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto +\mathfrak{I}(E) \cap k[t_0,\ldots,t_d]$. + +On appelle variété quasiprojective sur $k$ une variété quasiprojective +$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois. +On peut donc définir une action de Galois sur $X(k^{\alg})$, et $X(k)$ +est l'ensemble des points fixés par Galois (et pour toute extension +$k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le sous-ensemble de $X(k^{\alg})$ +fixé par $\Gamma_{k'}$). + + % % @@ -2733,9 +2881,6 @@ $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$. Un peu de théorie de la dimension. Un chouïa de calcul différentiel ? -Crash-course de théorie de Galois. Variétés sur un corps pas -algébriquement clos. - Bases de Gröbner. Courbes et corps de dimension $1$. But : arriver à Riemann-Roch. -- cgit v1.2.3