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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 30 May 2010 01:54:35 +0200
Subject: Quasiprojective varieties.  Morphisms thereof.  One example.

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@@ -2263,7 +2263,13 @@ suffisamment grand, ou, de façon équivalente, dont l'image réciproque
 dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est irrelevante.  On peut établir une
 correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux homogènes
 radicaux non-irrelevants de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ analogue au
-Nullstellensatz.
+Nullstellensatz.  Pour $f \in k[t_0,\ldots,t_d]/I$ on peut définir
+l'ouvert principal $D(f)$ (intersection de $D(\tilde f)$, pour $\tilde
+f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ relevant $f$, avec $X$) ; les $D(f_i)$
+recouvrent $X$ lorsque les $f_i$ engendrent un idéal irrelevant
+de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (résultat analogue
+à \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux} et qui découle de façon
+analogue du Nullstellensatz projectif).
 
 \underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé
 ci-dessus, le laisse penser, l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ souffre de
@@ -2396,6 +2402,67 @@ explicitement dans $I^+$).  Il y a cependant un cas favorable :
 lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$.
 
 
+%
+\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes}
+
+Variété quasiprojective = ouvert d'une variété projective =
+intersection d'un ouvert et d'un fermé de $\mathbb{P}^d$.
+
+Si $X$ et $Y$ sont des variétés quasiprojectives, un morphisme $X
+\buildrel h\over\to Y$ est la donnée d'un recouvrement de $X$ par des
+ouverts affines $X\cap U_i$, d'ouverts affines $Y\cap V_i$ de $Y$
+indicés par le même ensemble d'indice, et d'un morphisme de variétés
+algébriques affines $X \cap U_i \buildrel h_i\over\to Y\cap V_i$ pour
+chaque $i$, tels que les morphismes $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $X
+\cap U_i \cap U_j$ (ce qui sous-entend, pour commencer, qu'ils
+arrivent tous deux dans $Y \cap V_i \cap V_j$).  Remarquons qu'on peut
+supposer que les $U_i$ et $V_i$ sont des ouverts principaux,
+c'est-à-dire qu'ils sont de la forme $D(f_i)$ et $D(g_i)$ avec
+$f_i,g_i$ dans les anneaux gradués naïfs de $X$ et $Y$ (ou, pour
+simplifier, de variétés projectives dont $X$ et $Y$ sont des ouverts).
+
+De façon plus concrète, sur un corps algébriquement clos, un morphisme
+$X \buildrel h\over\to Y$ se voit comme une fonction $X(k) \to Y(k)$
+qui est « localement un morphisme », c'est-à-dire que pour tout point
+$x$ de $X(k)$ il y a un voisinage (au sens de Zariski) de $x$ dans $X$
+et de $h(x)$ dans $Y$ tel que la restriction de $h$ à ces voisinages
+soit un morphisme de variétés algébriques affines (donc, concrètement,
+soit définie par des fonctions polynomiales à ceci près qu'on autorise
+les dénomiateurs).
+
+\medbreak
+
+\textbf{Exemples :}
+
+¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu
+projectif.  Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation
+$x^2 + y^2 = z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans
+$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$, et soit le
+$\mathbb{P}^1$ de coordonnées $(t_0:t_1)$.  On définit un morphisme
+$\mathbb{P}^1 \to C^+$ par $(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 :
+t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien l'homogénéisation de $t \mapsto
+(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$) : tout d'abord il est clair
+que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to
+\mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent
+tous les monômes de degré $2$ donc un idéal irrelevant ; ensuite,
+comme $(t_0^2-t_1^2)^2 + (2t_0t_1)^2 = (t_0^2+t_1^2)^2$, ce morphisme
+arrive bien dans $C^+$.
+
+Dans l'autre sens : on définit un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ de
+la façon suivante : a priori on veut lui donner l'équation $(z:x:y)
+\mapsto (x+z:y)$, mais ceci ne définit un morphisme que sur l'ouvert
+complémentaire de $Z(x+z,y)$ (c'est-à-dire du point
+$(z:x:y)=(1:-1:0)$).  Il faut donc trouver une autre équation, ou
+plutôt une autre forme, sur un ouvert qui contienne ce point.  Ce
+n'est pas difficile : en se disant que de façon assez générale on a
+$(x+z:y) = ((x+z)(x-z):y(x-z)) = (x^2-z^2:y(x-z)) = (-y^2:y(x-z)) =
+(y:z-x)$, on va considérer $(z:x:y) \mapsto (y:z-x)$, qui est, cette
+fois, défini sur le complémentaire de $Z(y,z-x)$, c'est-à-dire de du
+point $(z:x:y) = (1:1:0)$.  Le calcul qu'on vient de faire montre que
+$(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux
+équations se recollent bien en un unique morphisme.
+
+
 
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cgit v1.2.3

