From 4151e61a31ebd96220e79479ff736d2d41b404ff Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sat, 29 May 2010 00:41:18 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Why=20the=20na=C3=AFve=20graded=20ring=20of=20a=20proje?= =?UTF-8?q?ctive=20variety=20is,=20precisely,=20na=C3=AFve.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- notes-geoalg.tex | 85 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 68 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'notes-geoalg.tex') diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 0ff50d2..54ad429 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2223,12 +2223,18 @@ constantes). \medbreak -Un morphisme $\mathbb{P}^d \to \mathbb{P}^e$ est la donnée de $e+1$ -polynômes $(f_0,\ldots,f_e) \in k[t_0,\ldots,t_d]$ en $d+1$ variables, -homogènes de même degré $\ell$, qui ne s'annulent jamais simultanément -sur un corps $k$ algébriquement clos, c'est-à-dire, pour éviter de -dépendre de cette hypothèse, que $f_0,\ldots,f_e$ engendrent un idéal -irrelevant dans $k[t_0,\ldots,t_d]$. +Un morphisme $\mathbb{P}^d \buildrel f\over\to \mathbb{P}^e$ est la +donnée de $e+1$ polynômes $(f_0,\ldots,f_e) \in k[t_0,\ldots,t_d]$ en +$d+1$ variables, homogènes de même degré $\ell$, qui ne s'annulent +jamais simultanément sur un corps $k$ algébriquement clos, +c'est-à-dire, pour éviter de dépendre de cette hypothèse, que +$f_0,\ldots,f_e$ engendrent un idéal irrelevant dans +$k[t_0,\ldots,t_d]$. Évidemment, si $f_0,\ldots,f_e$ vérifient +certaines équations homogènes $g_j(f_0,\ldots,f_e) = 0$ (avec $g_j \in +k[u_0,\ldots,u_e]$ homogène), on pourra considérer le morphisme $f$ +comme allant de $\mathbb{P}^d$ vers la variété projective +(cf. ci-dessous pour ce terme) $Y = Z(J)$ où $J$ est l'idéal homogène +engendré par les $g_j$. % @@ -2245,17 +2251,62 @@ de ses représentants ; et d'élément homogène de degré $\ell$ dans $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (un élément représenté par un polynôme homogène de degré $\ell$, ou égal à sa partie homogène de degré $\ell$). -On appelle \textbf{anneau gradué de $X$} l'anneau -$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (« gradué » signifiant qu'on s'est donné cette -notion d'éléments homogènes de degré $\ell$ pour chaque $\ell$ avec la -décomposition en parties correspondantes, et que le produit d'un -élément homogène de degré $\ell$ et d'un élément de degré $\ell'$ est, -comme pour les polynômes, homogène de degré $\ell+\ell'$). On le note -éventuellement $\sum_{\ell\in\mathbb{N}} \mathcal{O}(\ell)(X)$. On -appelle \emph{irrelevant} un idéal de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ contenant -tous les éléments homogène de degré suffisamment grand, ou, de façon -équivalente, dont l'image réciproque dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est -irrelevante. +On appelle \textbf{anneau gradué (naïf) de $X$ dans $\mathbb{P}^d$} +l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (« gradué » signifiant qu'on s'est +donné cette notion d'éléments homogènes de degré $\ell$ pour +chaque $\ell$ avec la décomposition en parties correspondantes, et que +le produit d'un élément homogène de degré $\ell$ et d'un élément de +degré $\ell'$ est, comme pour les polynômes, homogène de +degré $\ell+\ell'$). On appelle \emph{irrelevant} un idéal de +$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ contenant tous les éléments homogène de degré +suffisamment grand, ou, de façon équivalente, dont l'image réciproque +dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est irrelevante. On peut établir une +correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux homogènes +radicaux non-irrelevants de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ analogue au +Nullstellensatz. + +\underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé +ci-dessus, le laisse penser, l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ souffre de +plusieurs problèmes : +\begin{itemize} +\item Il ne dépend pas que de $X$ mais aussi de son plongement + dans $\mathbb{P}^d$ (même si c'est un peu difficile à illustrer à ce + stade, faute de savoir quels sont les morphismes entre variétés + projectives abstraites ; mais si on admet que $\mathbb{P}^1$ est + isomorphe à une conique plane telle que celle d'équation homogène + $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ dans $\mathbb{P}^2$ sur un corps de + caractéristique $\neq 2$, on se rend compte que dans le premier cas + $k[t_0,t_1]$ n'a que deux éléments homogènes de degré $1$ + linéairement indépendants à savoir $t_0$ et $t_1$, alors que dans le + second $k[x,y]/(x^2+y^2-z^2)$ en a trois, à savoir $x,y,z$, puisque + leur relation n'apparaît qu'en degré $2$). +\item Les éléments homogènes de degré zéro de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$, + c'est-à-dire, les constantes, ne sont pas, en général, les seules + fonctions régulières sur $X$ (car si $X$ n'est pas connexe, penser + par exemple à $Z(t_0 t_1)$, qui définit la réunion des deux points + ``$0$'' ($t_1=0$) et ``$\infty$'' ($t_0=0$) dans $\mathbb{P}^1$, + alors manifestement les fonctions valant une valeur sur un point et + une autre sur l'autre doivent être régulières). Plus généralement, + le problème est que les éléments de degré donné de + $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ ne vérifient pas la propriété de recollement + (=ne forment pas un « faisceau »). On pourrait corriger ce problème + pour construire l'anneau gradué qu'on notera $\bigoplus_{\ell} + \mathcal{O}(\ell)(X)$, mais il faut travailler un peu. (On peut + cependant montrer que, pour $\ell$ suffisamment grand, les éléments + de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ sont « les bons », et notamment, se + recollent.) +\item Même une fois ces problèmes pris en compte ou corrigés, les + morphismes $X \to \mathbb{P}^e$ ne seront toujours pas définis + simplement par la donnée de $e+1$ éléments de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$, + homogènes de même degré $\ell$, engendrant l'idéal irrelevant. +\end{itemize} + +\underline{Conclusion :} pour définir proprement les constructions sur +une variété projectives, on ne peut généralement pas se contenter de +reprendre le travail du cadre affine en remplaçant « affine » par +« projectif » et les anneaux par des anneaux gradués : il faut +généralement travailler \emph{localement}, c'est-à-dire, à partir des +variétés affines dont la variété projective est la réunion. -- cgit v1.2.3