From 4654c6a97220636d624d4e85c33bc9bbfba9c904 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Wed, 19 May 2010 20:01:46 +0200
Subject: More details/clarifications on morphisms.

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index b12fcbd..73c9255 100644
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@@ -1078,27 +1078,29 @@ On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
 dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
 $X$ de $k^d$.  Pourquoi cette terminologie redondante ?  Le terme
 « fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace
-affine $\mathbb{A}^d$.  Le terme de « variété algébrique
-  affine » insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses
-propres fermés de Zariski et de ses propres fonctions régulières.  On
-a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau $\mathcal{O}(X)$ des
-fonctions régulières, et, pour chaque $k$-algèbre, on a identifié
-l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$ avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X),
-A)$.
+affine $\mathbb{A}^d$.  Le terme de « variété algébrique affine »
+insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses propres fermés de
+Zariski et de ses propres fonctions régulières, qu'on va maintenant
+présenter.  On a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau
+$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, et, pour chaque
+$k$-algèbre, on a identifié l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$
+avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X), A)$.
 
 On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés
 algébriques.  Une fonction régulière doit être la même chose qu'un
 morphisme vers la droite affine.  On définit donc :
 \begin{itemize}
-\item un morphisme $f$ de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de
-  dimension $e$ est la donnée de $e$ fonctions régulières sur $X$,
-  c'est-à-dire d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$,
-\item un morphisme $f$ de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$
-  défini dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J =
-  (g_1,\ldots,g_r)$ est la donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in
-  \mathcal{O}(X)^e$ comme ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes
-  $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander
-  $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ;
+\item un morphisme [de $k$-variétés algébriques affines] $f$ de $X$
+  vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de dimension $e$ est la donnée
+  de $e$ fonctions régulières sur $X$, c'est-à-dire d'un $e$-uplet
+  d'éléments de $\mathcal{O}(X)$,
+\item un morphisme [de $k$-variétés algébriques affines] $f$ de $X$
+  vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ défini dans l'espace
+  affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = (g_1,\ldots,g_r)$ est la
+  donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)^e$ comme
+  ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes $g_j(f_1,\ldots,f_e) =
+  0$ pour tout $j$ (cela revient à demander $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x))
+  = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ;
 \item on dit qu'un morphisme comme ci-dessus envoie le point $x \in X$
   sur le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point
   $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ;
@@ -1121,17 +1123,18 @@ morphisme vers la droite affine.  On définit donc :
   tout $x \in X(k)$ (ou même tout $x \in X(A)$).
 \end{itemize}
 
-À ce moment-là, on doit se rappeler le lemme de Yoneda : se donner
-pour chaque $k$-algèbre $A$ une application $X(A) \to Y(A)$,
-c'est-à-dire $\Hom_k(\mathcal{O}(X),A) \to \Hom_k(\mathcal{O}(Y),A)$,
-quitte à vérifier des commutations aux morphismes $A \to A'$ qu'on
-passera sous silence, c'est la même chose que se donner un morphisme
-$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.  On peut donc définir tout
-simplement :
+Pour dire les choses autrement, un morphisme $X \to \mathbb{A}^e$ est
+la donnée d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, c'est-à-dire
+un élément de $\mathbb{A}^e(\mathcal{O}(X))$, et un morphise $X \to Y$
+où $Y = Z(g_1,\ldots,g_r)$ est la donné d'un élément de
+$Y(\mathcal{O}(X))$.  Ceci est encore équivalent à un morphisme de
+$k$-algèbres $f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$, d'où la
+philosophie suivante :
 
 \begin{center}
-Un morphisme de $k$-variétés affines $X \to Y$ est la même chose qu'un
-morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.
+Un morphisme de $k$-variétés algébriques affines $f\colon X \to Y$ est
+``la même chose'' qu'un morphisme de $k$-algèbres $f^*\colon
+\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.
 \end{center}
 
 Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme
@@ -1144,6 +1147,44 @@ $h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$.
 
 \smallbreak
 
+Il faut bien se rendre compte que le meme objet --- un morphisme $f
+\colon X \to Y$ de $k$-variétés algébriques --- peut être représenté
+par différentes données plus ou moins équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme
+  $Z(g_1,\ldots,g_r)$,) $e$ éléments de $\mathcal{O}(X)$ vérifiant les
+  équations $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$,
+\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme $Z(g_1,\ldots,g_r)$,
+  et $X$ dans $\mathbb{A}^d$ comme $Z(I)$,) $e$ éléments $\tilde
+  f_1,\ldots,\tilde f_e \in k[t_1,\ldots,t_d]$, vus modulo $I$,
+  définissant une fonction polynomiale $\mathbb{A}^d \to \mathbb{A}^e$
+  telle qu'il se trouve que $g_j(\tilde f_1,\ldots,\tilde f_e) \in I$
+  pour tout $j$,
+\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme $Z(g_1,\ldots,g_r)$,
+  et $X$ dans $\mathbb{A}^d$ comme $Z(I)$, et en utilisant le fait que
+  $k$ est algébriquement clos,) une fonction de $X(k)$ vers $Y(k)$ qui
+  se trouve être la restriction d'une fonction polynomiale $k^d \to
+  k^e$ (c'est-à-dire donnée par $x \mapsto \tilde f_1(x),\ldots,\tilde
+  f_e(x)$ pour certains $\tilde f_1,\ldots,\tilde f_e \in
+  k[t_1,\ldots,t_d]$) qui se trouve avoir envoyer $X(k)$ dans $Y(k)$,
+\item un élément de $Y(\mathcal{O}(X))$,
+\item un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$,
+\item pour chaque $k$-algèbre $A$, une application $X(A) \buildrel
+  f(A)\over\to Y(A)$ telle que si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un
+  morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel
+  X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A)
+  \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$
+  coïncident (cf. lemme de Yoneda).
+\end{itemize}
+On aura tendance à confondre silencieusement tout ou partie de ces
+objets.
+
+Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est
+pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la
+dernière est, de ce point de vue, la plus robuste.
+
+\smallbreak
+
 \textbf{Un exemple :} Considérons $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in
 k[x,y]$ (anneau des polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps
 algébriquement clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.
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cgit v1.2.3

