From 4c9b78f8355ee8ca1311ed7eac4e83e8abee07b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 24 May 2010 22:18:26 +0200
Subject: Make notations more coherent in the projective section wrt the affine
 section.

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@@ -1979,39 +1979,39 @@ algébrique.  Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes :
 
 \subsection{L'espace projectif sur un corps et sur un anneau}
 
-Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^n(k)$ l'ensemble des
-$(n+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la
-relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_n) \sim (x'_0,\cdots,x'_n)$ ssi
-les vecteurs $(x_0,\cdots,x_n)$ et $(x'_0,\cdots,x'_n)$ sont
-colinéaires.  On note $(x_0:\cdots:x_n)$ (certains auteurs préfèrent
-$[x_0,\ldots,x_n]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_n)$ pour cette
-relation d'équivalence.  On peut voir $\mathbb{P}^n(k)$ comme
+Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ l'ensemble des
+$(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la
+relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim (x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi
+les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et $(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont
+colinéaires.  On note $(x_0:\cdots:x_d)$ (certains auteurs préfèrent
+$[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette
+relation d'équivalence.  On peut voir $\mathbb{P}^d(k)$ comme
 l'ensemble des droites vectorielles (=passant par l'origine)
-de $k^{n+1}$.
+de $k^{d+1}$.
 
-Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^n$ (sur un corps), selon
+Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d$ (sur un corps), selon
 que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme
-$(1:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ quelconques) ou bien
-$(0:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ non tous nuls).  Le point
-$(x_1,\ldots,x_n)$ de $\mathbb{A}^n$ sera identifié au point
-$(1:x_1:\cdots:x_n)$ de $\mathbb{P}^n$, tandis que les points de la
-forme $(0:x_1:\ldots:x_n)$ sont appelés « points à l'infini » (et
+$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien
+$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls).  Le point
+$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point
+$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la
+forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et
 collectivement, « hyperplan à l'infini »).  On peut donc écrire
-$\mathbb{P}^n(k) = \mathbb{A}^n(k) \cup \mathbb{P}^{n-1}(k)$ (réunion
+$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion
 disjointe des points où $x_0 \neq 0$ et des points où $x_0 = 0$) ;
-moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^n$ soit un ouvert
-dans $\mathbb{P}^n$ et $\mathbb{P}^{n-1}$ son fermé complémentaire.
+moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert
+dans $\mathbb{P}^d$ et $\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire.
 Noter que le choix de $x_0$ est arbitraire : on peut voir
-$\mathbb{P}^n$ comme réunion de $n+1$ espaces affines $\mathbb{A}^n$.
+$\mathbb{P}^d$ comme réunion de $d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$.
 
 \smallbreak
 
-Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^n(A)$ comme l'ensemble
-des classses d'équivalence de matrices $n\times n$ à coefficients
+Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^d(A)$ comme l'ensemble
+des classses d'équivalence de matrices $d\times d$ à coefficients
 dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que
 \[
 \begin{array}{c}
-\sum_{i=1}^n x_{ii} = 1\\
+\sum_{i=1}^d x_{ii} = 1\\
 (\forall i,i',j,j')\, x_{ij} x_{i'j'} = x_{ij'} x_{i'j}\\
 \end{array}
 \]
@@ -2023,44 +2023,44 @@ x'_{i'j'} = x_{ij'} x'_{i'j}$ (toute ligne de $x$ est colinéaire à
 toute ligne de $x'$ avec la même définition).
 
 Ceci généralise bien la définition sur un corps : si $k$ est un corps,
-pour un élément $(x_0:\cdots:x_n)$ du $\mathbb{P}^n(k)$ précédemment
+pour un élément $(x_0:\cdots:x_d)$ du $\mathbb{P}^d(k)$ précédemment
 défini, il existe $i_0$ tel que $x_{i_0} \neq 0$, et on peut supposer
 $x_{i_0} = 1$, auquel cas on identifie le point avec la matrice
 $x_{ij}$ définie par $x_{ij} = 0$ sauf si $i=0$ auquel cas $x_{i_0,j}
 = x_j$.  Inversement, si $(x_{ij})$ est une matrice représentant un
-élément du $\mathbb{P}^n(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on
+élément du $\mathbb{P}^d(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on
 peut prendre une ligne quelconque de la matrice dont tous les
 coefficients ne sont pas nuls (il en existe nécessairement une puisque
 la somme des coefficients diagonaux vaut $1$ !) et elle représente un
-point de $\mathbb{P}^n(k)$ défini en premier.  Il est facile de
+point de $\mathbb{P}^d(k)$ défini en premier.  Il est facile de
 vérifier que ces deux fonctions sont réciproques.
 
 
 %
-\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^n$,
+\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$,
   fonctions régulières}
 
-On veut voir $\mathbb{P}^n$ comme une variété algébrique (au moins
+On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins
 pour $k$ algébriquement clos pour le moment).  Il faudra une notion
 d'ouverts et une notion de fonctions régulières.
 
-On dit qu'un $f \in k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène de
+On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de
   degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le
 même degré total $\ell$.  L'intérêt de cette remarque est que si
-$(x_0:\cdots:x_n) \in \mathbb{P}^n(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in
-k[x_0,\ldots,x_n]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$
+$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in
+k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$
 ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de
-$(x_0:\cdots:x_n)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_n)
-\in \mathbb{P}^n(k) : f(x_0,\ldots,x_n) = 0\}$ (il faudrait noter
-$Z_{\mathbb{P}^n}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire.
+$(x_0:\cdots:x_d)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d)
+\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ (il faudrait noter
+$Z_{\mathbb{P}^d}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire.
 
 On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f
-\in k[x_0,\ldots,x_n]$ la somme de tous ses monômes de degré
+\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré
 total $\ell$.  Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties
 homogènes.  Le produit de deux polynômes homogènes de degrés
 respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$.
 
-On dit qu'un idéal $I$ de $k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène}
+On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène}
 lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne
 signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes
 homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit
@@ -2081,17 +2081,17 @@ $\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.)
 
 (Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque
 $I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé
-\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{n+1}$ est un
+\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un
 \emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties.  L'ensemble $Z(I)$
 défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites
-vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^n$.)
+vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.)
 
-Pour $I$ idéal homogène de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on définit $Z(I)$
+Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$
 comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement,
 d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant
 un ensemble de générateurs homogènes de $I$.  Les $Z(I)$ s'appellent
-les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^n$.  Inversement, si $E$ est
-une partie de $\mathbb{P}^n$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal
+les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$.  Inversement, si $E$ est
+une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal
 (par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$
 s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq
 E$).
@@ -2100,16 +2100,16 @@ E$).
 Si $k$ est un corps algébriquement clos :
 \begin{itemize}
 \item (Nullstellensatz faible projectif.)  Pour $I$ un idéal homogène
-  de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans
-  $\mathbb{P}^n$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$
-  contienne tous les monômes en $x_0,\ldots,x_n$ de degré total $\ell$
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans
+  $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$
+  contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$
   (et, par conséquent, de tout degré plus grand).  Un tel idéal
   s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme].
 \item (Nullstellensatz projectif.)  Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et
   $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques,
   décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
-  de $k[x_0,\ldots,x_n]$ autres que $(x_0,\ldots,x_n)$ d'une part, et
-  les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^n(k)$ d'autre part.
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et
+  les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part.
 \end{itemize}
 \end{thm}
 
-- 
cgit v1.2.3

