From 4ec37cf1afe2356c23794e6f2df77e0bd395f3f4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Tue, 25 May 2010 17:06:24 +0200 Subject: Corrections/additions noted during course on 2010-05-25. --- notes-geoalg.tex | 20 ++++++++++++++++++-- 1 file changed, 18 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'notes-geoalg.tex') diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index b2884ab..7bf2739 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -365,6 +365,22 @@ L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le \textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général, strictement plus grand que le nilradical. +Notons aussi la conséquence facile suivante de la +proposition \ref{existence-ideaux-maximaux}. +\begin{prop}\label{elements-non-inversibles-et-ideaux-maximaux} +Dans un anneau $A$, l'ensemble des éléments non-inversibles est la +réunion de tous les idéaux maximaux. +\end{prop} +\begin{proof} +Dire que $x$ est inversible signifie que $x$ engendre l'idéal unité. +Si c'est le cas, $x$ n'appartient à aucun idéal strict de $A$, et en +particulier aucun idéal maximal. Réciproquement, si $x$ n'est pas +inversible, l'idéal $(x)$ qu'il engendre est strict, donc inclus dans +un idéal maximal $\mathfrak{m}$ +d'après \ref{existence-ideaux-maximaux}, donc $x$ est bien dans la +réunion des idéaux maximaux. +\end{proof} + % \subsection{Modules} @@ -1569,7 +1585,7 @@ ouvert fermé de $Z(xy)$, quitte à remplacer $U$ par son complémentaire on peut supposer que $U$ contient $(0,0)$, et alors $U$ est un ouvert fermé rencontrant $Z(x)$ et $Z(y)$ à la fois --- mais comme ceux-ci sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$ -et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(x,y)$. +et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(xy)$. % \subsection{Structure de variété affine d'un ouvert principal} @@ -1833,7 +1849,7 @@ Une variété algébrique quasi-affine est un ouvert \emph{non c'est-à-dire, d'un fermé de Zariski dans l'espace affine. Un tel ouvert peut s'écrire $U(I) := X \setminus Z(I)$ avec $I$ idéal de $\mathcal{O}(X)$, et il est recouvert par des $D(f_i)$ lorsque les -$f_i$ engendrent l'idéal $I$. +$f_i$ engendrent l'idéal $\surd I$. \begin{defn} Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété -- cgit v1.2.3