From 503353c6f5ec87077f2be4cdbf4caf93397e4595 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Tue, 18 May 2010 17:13:38 +0200
Subject: Clarifications on morphisms and regular functions.  More to come.

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@@ -1023,6 +1023,14 @@ de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant
 en un $k$-point de $X$.
 \end{rmk}
 
+Un $f \in \mathcal{O}(X)$ est complètement déterminé par sa valeur sur
+$X(k)$ (rappel : $k$ est algébriquement clos dans tout ça, et c'est
+important !) ; en effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X(k)$, tout
+élément de $k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x
+\in X(k)$, c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui
+signifie justement $f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$.  (Moralité : on peut
+bien considérer les éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.)
+
 %
 \subsection{Morphismes de variétés algébriques}
 
@@ -1042,20 +1050,35 @@ On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés
 algébriques.  Une fonction régulière doit être la même chose qu'un
 morphisme vers la droite affine.  On définit donc :
 \begin{itemize}
-\item un morphisme de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de
+\item un morphisme $f$ de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de
   dimension $e$ est la donnée de $e$ fonctions régulières sur $X$,
   c'est-à-dire d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$,
-\item un morphisme de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ défini
-  dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J =
+\item un morphisme $f$ de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$
+  défini dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J =
   (g_1,\ldots,g_r)$ est la donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in
   \mathcal{O}(X)^e$ comme ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes
   $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander
   $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ;
-\item on dit qu'un tel morphisme envoie le point $x \in X$ sur le
-  point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point
+\item on dit qu'un morphisme comme ci-dessus envoie le point $x \in X$
+  sur le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point
   $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ;
   en pariculier, il définit une fonction $X(k) \to Y(k)$, et plus
-  généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$.
+  généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$ ;
+\item d'après ce qu'on a dit sur les fonctions régulières (un $f \in
+  \mathcal{O}(X)$ est déterminé par ses valeurs sur $X(k)$, $k$ étant
+  algébriquement clos), un morphisme $f \colon X\to Y$ est déterminé
+  par ses valeurs sur $X(k)$ (toujours : $k$ étant algébriquement
+  clos) ;
+\item on définit la composée d'un morphisme $f \colon X \to Y$ comme
+  ci-dessus (représenté par $f_1,\ldots,f_e \in \mathcal{O}(X)$ si $Y
+  \subseteq \mathbb{A}^e$) et d'un morphisme $g \colon Y \to Z$
+  (représenté par $g_1,\ldots,g_s \in \mathcal{O}(Y)$ si $Z \subseteq
+  \mathbb{A}^s$) de la façon suivante : si $\tilde g_1,\ldots,\tilde
+  g_s \in k[u_1,\ldots,u_e]$ relèvent $g_1,\ldots,g_s$, on représente
+  $g\circ f$ par les éléments $\tilde g_1(f_1,\ldots,f_e), \ldots,
+  \penalty-100 \tilde g_s(f_1,\ldots,f_e) \penalty-50 \in
+  \mathcal{O}(X)$ ; on a, heureusement, $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ pour
+  tout $x \in X(k)$ (ou même tout $x \in X(A)$).
 \end{itemize}
 
 À ce moment-là, on doit se rappeler le lemme de Yoneda : se donner
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