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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 9 Jun 2010 22:34:22 +0200
Subject: Change all internal labels (give them names in English).

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@@ -298,7 +298,7 @@ pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec
 $I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$).
 \end{lem}
 
-\begin{prop}\label{existence-ideaux-maximaux}
+\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
 Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
 un idéal maximal.
 \end{prop}
@@ -371,8 +371,8 @@ L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
 strictement plus grand que le nilradical.
 
 Notons aussi la conséquence facile suivante de la
-proposition \ref{existence-ideaux-maximaux}.
-\begin{prop}\label{elements-non-inversibles-et-ideaux-maximaux}
+proposition \ref{existence-maximal-ideals}.
+\begin{prop}\label{non-invertible-elements-and-maximal-ideals}
 Dans un anneau $A$, l'ensemble des éléments non-inversibles est la
 réunion de tous les idéaux maximaux.
 \end{prop}
@@ -382,7 +382,7 @@ Si c'est le cas, $x$ n'appartient à aucun idéal strict de $A$, et en
 particulier aucun idéal maximal.  Réciproquement, si $x$ n'est pas
 inversible, l'idéal $(x)$ qu'il engendre est strict, donc inclus dans
 un idéal maximal $\mathfrak{m}$
-d'après \ref{existence-ideaux-maximaux}, donc $x$ est bien dans la
+d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x$ est bien dans la
 réunion des idéaux maximaux.
 \end{proof}
 
@@ -478,7 +478,7 @@ En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
 $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
 quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :
 
-\begin{defn}\label{algebre-de-type-fini}
+\begin{defn}\label{finite-type-algebras}
 Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre)
 lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer}
 $B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive
@@ -502,14 +502,13 @@ $A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$.  On peut donc dire :
 une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$
 (pour un certain $d$).
 
-\begin{cor}\label{algebre-de-type-fini-est-anneau-noetherien}
+\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian}
 Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier
 sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
 \end{cor}
 
 %
-\subsection{Notes sur les morphismes}
-\label{section-note-morphismes}
+\subsection{Notes sur les morphismes}\label{subsection-note-morphisms}
 
 Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire
 qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B
@@ -628,7 +627,7 @@ anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente
 (en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme
 naturel $A \to A[S^{-1}]$).
 
-\begin{prop}\label{proprietes-localise}
+\begin{prop}\label{properties-localization}
 \begin{itemize}
 \item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
   injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
@@ -673,7 +672,7 @@ $A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$.  En particulier, lorsque $\Sigma$
 est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou
 $A[\frac{1}{\sigma}]$.
 
-\begin{prop}\label{localise-inversant-un-element}
+\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element}
 Si $A$ est un anneau et $f\in A$ alors $A[\frac{1}{f}] \cong
 A[z]/(zf-1)$ (ici, $A[z]$ est l'anneau des polynômes en une
 indéterminée) par un isomorphisme envoyant $\frac{a}{f^n}$ sur la
@@ -892,7 +891,7 @@ réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des
 abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits
 que $Z(xy)$.
 
-\begin{prop}\label{ferme-irreductible-ssi-ideal-premier}
+\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal}
 Un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ est irréductible si, et
 seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
 \end{prop}
@@ -958,7 +957,7 @@ Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut.
 
 En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le
 cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) :
-\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes}
+\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}
 Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Tout idéal maximal
 $\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
 $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$
@@ -988,7 +987,7 @@ prouver $f\in \surd I$.  On vérifie facilement que ceci revient à
 montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$
 de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité.  Or
 $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
-d'après \ref{localise-inversant-un-element}.  Soit $J$ l'idéal
+d'après \ref{localization-inverting-one-element}.  Soit $J$ l'idéal
 engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que
 $Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir
 simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$,
@@ -1117,7 +1116,7 @@ pour tout morphisme de $k$-algèbres $\varphi$ : la collection de ces
 données s'appelle le \textbf{foncteur des points} de $X$.
 
 \begin{rmk}
-D'après ce qu'on a expliqué en \ref{section-note-morphismes}, pour
+D'après ce qu'on a expliqué en \ref{subsection-note-morphisms}, pour
 toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des
 morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ est en
 bijection avec $X(A)$ (la bijection envoyant un morphisme $\psi\colon
@@ -1138,7 +1137,7 @@ fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$.
 \end{rmk}
 
 %
-\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{morphismes-varietes-algebriques-affines}
+\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{subsection-morphisms-of-affine-algebraic-varieties}
 
 On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
 dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
@@ -1331,7 +1330,7 @@ algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci
 dans $\mathbb{A}^d$.
 
 Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on
-rappelle, cf. \ref{algebre-de-type-fini}, que cela signifie que $R$
+rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$
 est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments
 $x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient
 de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier)
@@ -1417,7 +1416,7 @@ les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts}
 une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une
 réunion d'une sous-famille d'entre eux).
 
-\begin{prop}\label{recouvrement-par-ouverts-principaux}
+\begin{prop}\label{covering-by-principal-open-sets}
 Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$
 (pour $i \in \Lambda$ disons), alors $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) =
 X$ si et seulement si les $f_i$ engendrent l'idéal unité
@@ -1480,9 +1479,9 @@ affine $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ (c'est-à-dire,
 sur $X(k)$) :
 \begin{itemize}
 \item $X$ est irréductible ssi $\mathcal{O}(X)$ est intègre
-  (cf. \ref{ferme-irreductible-ssi-ideal-premier}),
+  (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}),
 \item $X$ est toujours quasi-compact (découle
-  de \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux} : si $f_i$ engendrent
+  de \ref{covering-by-principal-open-sets} : si $f_i$ engendrent
   l'idéal unité, un sous-ensemble fini d'entre eux l'engendrent ---
   même sans utiliser le caractère noethérien de l'anneau),
 \item l'adhérence de Zariski d'une partie $E \subseteq X(k)$ est
@@ -1567,7 +1566,7 @@ ainsi une suite de fermés strictement décroissante pour l'inclusion $X
 \supsetneq X_1 \supsetneq X_2 \supsetneq\cdots$, qui correspond à une
 suite strictement croissante d'idéaux (radicaux) dans
 $\mathcal{O}(X)$, ce qui est impossible car $\mathcal{O}(X)$ est
-noethérien (cf. \ref{algebre-de-type-fini-est-anneau-noetherien}).
+noethérien (cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}).
 
 On peut donc écrire $X = \bigcup_{i=1}^n X_i$, et quitte à jeter les
 $X_i$ déjà inclus dans un autre $X_j$ (et à répéter le processus si
@@ -1619,11 +1618,11 @@ essentiellement, celles qui « évitent zéro » (ou « ne prennent pas la
 (pour $k$ algébriquement clos !) signifie $f \not\in \mathfrak{m}_x$
 pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}_x$ (on sait d'après les
 résultats autour du Nullstellensatz
-(cf. \ref{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes}) que tout idéal
+(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}) que tout idéal
 maximal de $\mathcal{O}(X)$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f :
 f(x) = 0\}$) ; or dire qu'un élément $f$ d'un anneau n'appartient à
 \emph{aucun} idéal maximal signifie qu'il n'appartient à aucun idéal
-strict (cf. \ref{existence-ideaux-maximaux}), donc que l'idéal qu'il
+strict (cf. \ref{existence-maximal-ideals}), donc que l'idéal qu'il
 engendre est l'idéal unité, c'est-à-dire que $f$ est
 \emph{inversible}.  \underline{Moralité :} les morphismes $X \to U$
 devraient être les éléments inversibles de $\mathcal{O}(X)$.
@@ -1675,7 +1674,7 @@ désigne le morphisme naturel vers le localisé :
 \item les idéaux maximaux (resp. premiers)
   de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ sont en bijection avec les idéaux
   maximaux de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$
-  (cf. \ref{proprietes-localise}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec
+  (cf. \ref{properties-localization}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec
   \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ désigne cette bijection, envoyant un
   point $x$ de $D(f) \subseteq X$, vu comme idéal maximal
   $\mathfrak{m}_x$ de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$, sur le
@@ -1750,7 +1749,7 @@ fondamentale :
 
 \begin{prop}
 Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$
-(c'est-à-dire, cf. \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux}, que les
+(c'est-à-dire, cf. \ref{covering-by-principal-open-sets}, que les
 $f_i \in \mathcal{O}(X)$, qu'on pourra toujours supposer en nombre
 fini, engendrent l'idéal unité), alors :
 \begin{enumerate}
@@ -2276,7 +2275,7 @@ l'ouvert principal $D(f)$ (intersection de $D(\tilde f)$, pour $\tilde
 f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ relevant $f$, avec $X$) ; les $D(f_i)$
 recouvrent $X$ lorsque les $f_i$ engendrent un idéal irrelevant
 de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (résultat analogue
-à \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux} et qui découle de façon
+à \ref{covering-by-principal-open-sets} et qui découle de façon
 analogue du Nullstellensatz projectif).
 
 \underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé
@@ -2978,7 +2977,7 @@ $\tau_3 = t_3/t_0$) : $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$
 conclure que la dimension de cet ouvert affine $C \cap D(t_0)$ est au
 moins $3-2 = 1$, en fait il est visiblement isomorphe à $\mathbb{A}^1$
 via le morphisme $\tau \mapsto (\tau,\tau^2,\tau^3)$ considéré dans la
-section \ref{morphismes-varietes-algebriques-affines}.  (Attention, on
+section \ref{subsection-morphisms-of-affine-algebraic-varieties}.  (Attention, on
 ne peut pas conclure directement que la dimension de $C$ est $3$ à
 moins de donner une explication du fait que $C$ est irréductible.)
 Par symétrie des variables (remplacer $t_i$ par $t_{3-i}$ partout
@@ -3101,7 +3100,7 @@ n'importe quoi qui sera considéré plus bas) est fixé/stable par
 $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$, il suffit de vérifier qu'il est fixé/stable
 par $\Frob_q$.
 
-\begin{thm}\label{rationnel-ssi-fixe-par-galois}
+\begin{thm}\label{rational-iff-fixed-by-galois}
 Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un
 élément $x$ de $k^{\alg}$ appartient à $k$ si [et seulement si, mais
   ça c'est juste la définition de $\Gamma_k$] on a $\sigma(x) = x$
@@ -3147,7 +3146,7 @@ est galoisienne.
 \end{thm}
 
 La première partie du résultat suivant est une conséquence triviale
-de \ref{rationnel-ssi-fixe-par-galois}, la seconde est beaucoup plus
+de \ref{rational-iff-fixed-by-galois}, la seconde est beaucoup plus
 subtile.
 \begin{thm}
 Pour $k$ parfait :
@@ -3304,7 +3303,7 @@ les termes de (=intervenant dans) ce polynôme.
 
 Commençons par la remarque suivante, qui est évidente, mais
 essentielle :
-\begin{prop}\label{divisibilite-monomes}
+\begin{prop}\label{divisibility-of-monomials}
 Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors
 pour chaque terme $c s$ de $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$ (où
 $g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$) le monôme $s$ de ce terme est
@@ -3376,7 +3375,7 @@ $S_0 \subseteq S$ qui engendre le même idéal $I$.  Soit $s$ le plus
 petit élément de $S_0$ : on prétend que $s$ est aussi le plus petit
 élément de $S$.  En effet, si $s' \in S$ alors $s' \in I$ donc $s'$
 s'écrit comme combinaison d'éléments de $S_0$, mais alors
-d'après \ref{divisibilite-monomes}, $s'$ est simplement multiple d'un
+d'après \ref{divisibility-of-monomials}, $s'$ est simplement multiple d'un
 élément de $S_0$, et d'après le premier point, $s\preceq s'$, ce qui
 conclut.
 \end{proof}
@@ -3493,7 +3492,7 @@ possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$.
 Puisque $\init(h) \in \init(I)$, on peut écrire $\init(h) = g_1
 \init(f_1) + \cdots + g_r \init(f_r)$ par l'hypothèse faite sur
 les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$).
-D'après \ref{divisibilite-monomes}, ceci montre que $\init(h) = c s
+D'après \ref{divisibility-of-monomials}, ceci montre que $\init(h) = c s
 \init(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante.  On a
 alors $s f_i \in I$, et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = \init(h)$,
 donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme
@@ -3507,7 +3506,7 @@ les $\init(f)$ pour $f\in I$ qui engendrent $\init(I)$ on peut
 extraire un ensemble fini engendrant $\init(I)$ --- il s'agit d'une
 base de Gröbner de $I$.
 
-\begin{algo}[algorithme de division]\label{algorithme-de-division}
+\begin{algo}[algorithme de division]\label{division-algorithm}
 Soient $f,f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre
 admissible sur les monômes.  Alors il existe une écriture
 \[
@@ -3553,7 +3552,7 @@ $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner et $f \in
 (f_1,\ldots,f_r)$, comme on a aussi $\rho \in (f_1,\ldots,f_r)$, alors
 $\init(\rho) \in (\init(f_1),\ldots,\init(f_r))$, ce qui vu le fait
 qu'aucun monôme de $\rho$ n'est divisible par un des $\init(f_i)$,
-n'est possible que si $\rho = 0$ (cf. \ref{divisibilite-monomes}) ; de
+n'est possible que si $\rho = 0$ (cf. \ref{divisibility-of-monomials}) ; de
 même, si $\rho$ et $\rho'$ sont deux restes différents du même $f$,
 disons $f = g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r + \rho$ et $f = g'_1 f_1 +
 \cdots + g'_r f_r + \rho'$, alors $(g'_1-g_1) f_1 + \cdots +
@@ -3611,7 +3610,7 @@ terme) des $(g_1,\ldots,g_r)$ tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r =
 0$, ces $(g_1,\ldots,g_r)$ étant appelés des \textbf{relations} entre
 les $f_i$ (relation non-triviale si les $g_i$ ne sont pas tous nuls).
 
-Soit $\rho_{i,j}$ le reste (au sens de \ref{algorithme-de-division})
+Soit $\rho_{i,j}$ le reste (au sens de \ref{division-algorithm})
 de $f_{i,j}$ par rapport aux $f_1,\ldots,f_r$ (pour un ordre
 monomial $\preceq$) : si les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de
 Gröbner alors $\rho_{i,j} = 0$ puisque $f_{i,j} \in (f_1,\ldots,f_r)$.
-- 
cgit v1.2.3

