From 6426a86b4a0ac13819e94b91d782d1b54ca7ce4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Thu, 3 Jun 2010 18:36:52 +0200
Subject: Morphisms between varieties on a nonclosed field.

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@@ -2848,14 +2848,17 @@ $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$.
 \end{prop}
 
 On qualifiera un fermé de Zariski $X$ de $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$
-stable par Galois de $k$-variété algébrique affine.  On a alors un
-ensemble de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les
-points dont les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont
-fixées par Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien
-être vide sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne
-que sur un corps algébriquement clos).  Par exemple, $Z(x^2+y^2+1)
-\subseteq \mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine
-sur $\mathbb{R}$ qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point.
+stable par Galois de $k$-variété algébrique affine (moralité : c'est
+une variété dont les équations peuvent être définies sur $k$), et on
+considère que $Z(I)$ désigne cette variété $X$ (et pas juste
+l'ensemble des points sur $k$).  On a alors effectivement un ensemble
+de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les points dont
+les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont fixées par
+Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien être vide
+sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne que sur un
+corps algébriquement clos).  Par exemple, $Z(x^2+y^2+1) \subseteq
+\mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine sur $\mathbb{R}$
+qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point.
 
 La même chose fonctionne en projectif : on a des bijections
 réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre idéaux homogènes
@@ -2865,11 +2868,58 @@ donnée par $I \mapsto Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto
 \mathfrak{I}(E) \cap k[t_0,\ldots,t_d]$.
 
 On appelle variété quasiprojective sur $k$ une variété quasiprojective
-$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois.
-On peut donc définir une action de Galois sur $X(k^{\alg})$, et $X(k)$
-est l'ensemble des points fixés par Galois (et pour toute extension
-$k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le sous-ensemble de $X(k^{\alg})$
-fixé par $\Gamma_{k'}$).
+$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois
+(moralité : c'est une variété dont les équations peuvent être définies
+sur $k$).  On peut donc définir une action de Galois sur
+$X(k^{\alg})$, et $X(k)$ est l'ensemble des points fixés par Galois
+(et pour toute extension $k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le
+sous-ensemble de $X(k^{\alg})$ fixé par $\Gamma_{k'}$).
+
+Pour éviter les confusions, on note souvent $X_{k^{\alg}}$ la variété
+sur $k^{\alg}$ définie par $X$ (c'est-à-dire celle où on oublie la
+structure sur $k$ / l'action de Galois).
+
+
+
+\subsection{Morphismes entre icelles}
+
+Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur un corps
+parfait $k$, un morphisme $X_{k^{\alg}} \buildrel f\over\to
+Y_{k^{\alg}}$ sera considéré comme un morphisme $X \to Y$ de
+$k$-variétés lorsqu'il vérifie les conditions équivalentes suivantes :
+\begin{itemize}
+\item Il existe des équations à coefficients dans $k$ définissant $f$.
+\item Le morphisme $f$ commute à l'action de Galois, au sens où
+  $\sigma(f(x)) = f(\sigma(x))$ pour tout $x \in X(k^{\alg})$.
+\end{itemize}
+
+(Cas particulier éclairant : si $f \in \mathbb{F}_{q^n}[t]$, alors
+$f(t)^q = f(t^q)$ si et seulement si $f \in \mathbb{F}_q[t]$.)
+
+En particulier, $f$ définit une application $X(k) \to Y(k)$, mais la
+donnée de celle-ci \emph{ne suffit pas} à caractériser $f$ (penser au
+fait que $X(k)$ peut très bien être vide !).
+
+On peut aussi caractériser les morphismes $X \to Y$ de $k$-variétés
+comme les données pour toute $k$-algèbre $A$ d'un application $X(A)
+\buildrel f(A)\over\to Y(A)$ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to
+A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A)
+\buildrel X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et
+$X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$
+coïncident (cf. lemme de Yoneda).
+
+\medbreak
+
+Pour les fonctions régulières, on a ce qu'on imagine : un morphisme $X
+\to \mathbb{A}^1$ est la même chose qu'une fonction régulière sur
+$X_{k^{\alg}}$ stable par Galois, et c'est ce qu'on appelle une
+fonction régulière sur $X$.  Lorsque $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$
+est affine (avec $I = \mathfrak{I}(X)$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$),
+les fonctions régulières sur $X$ sont les éléments de
+$k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  En général, on peut toujours définir une
+fonction régulière sur $X$ par recollement de fonctions régulières sur
+des ouverts affines (c'est-à-dire : on peut le faire \emph{sur $k$},
+il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique).
 
 
 
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cgit v1.2.3

