From 6426a86b4a0ac13819e94b91d782d1b54ca7ce4c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 3 Jun 2010 18:36:52 +0200 Subject: Morphisms between varieties on a nonclosed field. --- notes-geoalg.tex | 76 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 63 insertions(+), 13 deletions(-) (limited to 'notes-geoalg.tex') diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index bbac1e5..7cac809 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2848,14 +2848,17 @@ $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$. \end{prop} On qualifiera un fermé de Zariski $X$ de $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ -stable par Galois de $k$-variété algébrique affine. On a alors un -ensemble de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les -points dont les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont -fixées par Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien -être vide sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne -que sur un corps algébriquement clos). Par exemple, $Z(x^2+y^2+1) -\subseteq \mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine -sur $\mathbb{R}$ qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point. +stable par Galois de $k$-variété algébrique affine (moralité : c'est +une variété dont les équations peuvent être définies sur $k$), et on +considère que $Z(I)$ désigne cette variété $X$ (et pas juste +l'ensemble des points sur $k$). On a alors effectivement un ensemble +de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les points dont +les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont fixées par +Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien être vide +sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne que sur un +corps algébriquement clos). Par exemple, $Z(x^2+y^2+1) \subseteq +\mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine sur $\mathbb{R}$ +qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point. La même chose fonctionne en projectif : on a des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre idéaux homogènes @@ -2865,11 +2868,58 @@ donnée par $I \mapsto Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E) \cap k[t_0,\ldots,t_d]$. On appelle variété quasiprojective sur $k$ une variété quasiprojective -$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois. -On peut donc définir une action de Galois sur $X(k^{\alg})$, et $X(k)$ -est l'ensemble des points fixés par Galois (et pour toute extension -$k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le sous-ensemble de $X(k^{\alg})$ -fixé par $\Gamma_{k'}$). +$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois +(moralité : c'est une variété dont les équations peuvent être définies +sur $k$). On peut donc définir une action de Galois sur +$X(k^{\alg})$, et $X(k)$ est l'ensemble des points fixés par Galois +(et pour toute extension $k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le +sous-ensemble de $X(k^{\alg})$ fixé par $\Gamma_{k'}$). + +Pour éviter les confusions, on note souvent $X_{k^{\alg}}$ la variété +sur $k^{\alg}$ définie par $X$ (c'est-à-dire celle où on oublie la +structure sur $k$ / l'action de Galois). + + + +\subsection{Morphismes entre icelles} + +Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur un corps +parfait $k$, un morphisme $X_{k^{\alg}} \buildrel f\over\to +Y_{k^{\alg}}$ sera considéré comme un morphisme $X \to Y$ de +$k$-variétés lorsqu'il vérifie les conditions équivalentes suivantes : +\begin{itemize} +\item Il existe des équations à coefficients dans $k$ définissant $f$. +\item Le morphisme $f$ commute à l'action de Galois, au sens où + $\sigma(f(x)) = f(\sigma(x))$ pour tout $x \in X(k^{\alg})$. +\end{itemize} + +(Cas particulier éclairant : si $f \in \mathbb{F}_{q^n}[t]$, alors +$f(t)^q = f(t^q)$ si et seulement si $f \in \mathbb{F}_q[t]$.) + +En particulier, $f$ définit une application $X(k) \to Y(k)$, mais la +donnée de celle-ci \emph{ne suffit pas} à caractériser $f$ (penser au +fait que $X(k)$ peut très bien être vide !). + +On peut aussi caractériser les morphismes $X \to Y$ de $k$-variétés +comme les données pour toute $k$-algèbre $A$ d'un application $X(A) +\buildrel f(A)\over\to Y(A)$ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to +A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) +\buildrel X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et +$X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ +coïncident (cf. lemme de Yoneda). + +\medbreak + +Pour les fonctions régulières, on a ce qu'on imagine : un morphisme $X +\to \mathbb{A}^1$ est la même chose qu'une fonction régulière sur +$X_{k^{\alg}}$ stable par Galois, et c'est ce qu'on appelle une +fonction régulière sur $X$. Lorsque $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ +est affine (avec $I = \mathfrak{I}(X)$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$), +les fonctions régulières sur $X$ sont les éléments de +$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. En général, on peut toujours définir une +fonction régulière sur $X$ par recollement de fonctions régulières sur +des ouverts affines (c'est-à-dire : on peut le faire \emph{sur $k$}, +il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique). -- cgit v1.2.3