From 7550b13d21791b8d8942ffbc9abef45e4fe3e5e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 21 May 2010 12:41:51 +0200
Subject: Presentation of localization inverting one element.

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 notes-geoalg.tex | 29 +++++++++++++++++++++++++++++
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index 63317b6..836f74f 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -652,6 +652,35 @@ $A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$.  En particulier, lorsque $\Sigma$
 est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou
 $A[\frac{1}{\sigma}]$.
 
+\begin{prop}\label{localise-inversant-un-element}
+Si $A$ est un anneau et $f\in A$ alors $A[\frac{1}{f}] \cong
+A[z]/(zf-1)$ (ici, $A[z]$ est l'anneau des polynômes en une
+indéterminée) par un isomorphisme envoyant $\frac{a}{f^n}$ sur la
+classe de $a z^n$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Considérons le morphisme $A[z] \to A[\frac{1}{f}]$ envoyant $z$
+sur $\frac{1}{f}$, c'est-à-dire $h \mapsto h(\frac{1}{f})$ (pour $h
+\in A[z]$).  Il est évident qu'il est surjectif ($a z^n$ s'envoie
+sur $\frac{a}{f^n}$) et que son noyau contient $zf-1$.  Tout revient
+donc à montrer que si $h \in A[z]$ est dans le noyau, i.e., vérifie
+$h(\frac{1}{f}) = 0 \in A[\frac{1}{f}]$, alors $h$ est dans l'idéal
+engendré par $zf-1$.  Mettons $h = c_0 + c_1 z + \cdots + c_n z^n$ :
+la condition $h(\frac{1}{z}) = 0$ signifie $(c_0 f^n + c_1 f^{n-1} +
+\cdots + c_n)/f^n = 0 \in A[\frac{1}{f}]$, c'est-à-dire qu'il existe
+$k$ tel que $c_0 f^{n+k} + c_1 f^{n+k-1} + \cdots + c_n f^k = 0$.
+Cherchons une écriture $h(z) = q(z)\,(1-zf)$ où $q \in A[z]$, disons
+$q(z) = d_0 + d_1 z + \cdots + d_N z^N$.  En identifiant les
+coefficients, on trouve $c_0 = d_0$, $c_1 = d_1 - d_0 f$, $c_2 = d_2 -
+d_1 f$, etc., c'est-à-dire $d_0 = c_0$, $d_1 = c_0 f + c_1$, et
+généralement $d_r = c_0 f^r + \cdots + c_{r-1} f + c_r$ en convenant
+$c_i = 0$ si $i>n$.  Pour que ceci définisse bien un polynôme $q$, il
+faut et il suffit que $d_r$ soit nul à partir d'un certain rang (à
+savoir $N+1$ avec les notations précédentes).  Or la condition qu'on a
+trouvé s'exprime précisément par le fait que $d_{n+k} = 0$ ainsi que
+tous les $d_i$ ultérieurs.
+\end{proof}
+
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 \subsection{TODO}
 
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cgit v1.2.3

