From 7afd1e7905e87786b9b0c61248bb7bd558a76f31 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 4 Jun 2010 15:41:50 +0200
Subject: An ugly and unpleasant note about "yeah, we could be using schemes
 here".

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 notes-geoalg.tex | 35 +++++++++++++++++++++++++++++++++--
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+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2441,7 +2441,11 @@ les dénomiateurs).
 On peut également donner une description « globale » des morphismes,
 mais elle est peu maniable :
 \begin{itemize}
-\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal homogène de
+\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal
+  homogène\footnote{Attention, ce genre d'écriture, ici comme
+    ailleurs, sous-entend toujours que l'idéal $I$ est radical, sauf
+    si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme
+    une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} de
   $k[t_0,\ldots,t_d]$), un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ peut se
   décrire comme une matrice rectangulaire avec $e+1$ colonnes (le
   nombre de lignes n'étant pas spécifié) dont les entrées sont dans
@@ -2830,7 +2834,7 @@ l'espace tangent à $X$ en $x$ est le même que l'espace tangent en $x$
 à n'importe quel voisinage affine de $x$, donc on peut faire tout
 calcul en supposant que $X$ est affine.  Si $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$
 est défini\footnote{Ce genre d'affirmation, ici et ailleurs,
-  sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est réduit, sauf
+  sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est radical, sauf
   si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme
   une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} par les équations
 $f_i = 0$ dans $\mathbb{A}^d$ alors un point tangent à $X$ peut
@@ -2935,6 +2939,33 @@ que prend la matrice des dérivés partielles).
 
 \medbreak
 
+\begin{rmk}
+Dans énormément d'énoncés, on a utilisé des expressions comme « soit
+  $X = Z(I)$ la variété (blabla) », qui sous-entendent que $I$ est un
+idéal \emph{radical} (à savoir $I = \mathfrak{I}(X)$) : ceci est
+nécessaire pour éviter de parler de schémas (qui seraient des objets
+localement comme « $\Spec k[t_1,\ldots,t_d]/I$ » avec $I$ idéal non
+nécessairement radical).  L'inconvénient de cette approche est qu'à
+peu près toute manipulation d'équations est subordonnée à la
+vérification du fait que celles-ci engendrent un idéal radical, ce qui
+est souvent fastidieux.
+
+Voici une bonne nouvelle : un « schéma » lisse est nécessairement
+réduit (=est une variété) ; c'est-à-dire, dans un langage qu'on
+comprend, que si $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, qui ne sont
+pas supposés \textit{a priori} engendrer un idéal radical, vérifient
+la condition de lissité (=le rang de la matrice $\frac{\partial
+  f_i}{\partial t_j}$ vaut partout au moins $d - \dim X$, donc
+exactement ce nombre, où $X$ est la variété définie par
+$\surd(f_1,\ldots,f_r)$ ; et en particulier s'il vaut partout au moins
+$d-r$), alors automatiquement l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est radical.
+
+(Par contre, dans ce contexte, on ne peut pas utiliser la proposition
+précédente.)
+\end{rmk}
+
+\medbreak
+
 \textbf{Un exemple : la cubique gauche.}  On reprend l'exemple étudié
 à plusieurs reprises de la cubique gauche, la variété $C$ définie dans
 $\mathbb{P}^3$ par $t_0 t_2 = t_1^2$, $t_1 t_3 = t_2^2$ et $t_0 t_3 =
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cgit v1.2.3

