From 7b811ca8714fe22fce84c527776ae955207f0850 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 10 Jun 2010 17:34:33 +0200
Subject: An approximation result.

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 notes-geoalg.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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@@ -3757,8 +3757,10 @@ de $C$, définies sur $k$ (où on identifie deux fonctions quand elles
 coïncident sur l'intersection des ouverts sur lesquels elles sont
 données) ; on l'appelle simplement \textbf{corps des fonctions}
 de $C$.  On a $k(C) = \Frac(\mathcal{O}(U))$ pour n'importe quel
-ouvert affine non-vide (=dense) de $C$.  On appelle évidemment
-\textbf{constantes} les éléments de $k$ vus dans $k(C)$.
+ouvert affine\footnote{\label{footnote-affine}En fait, on verra que
+  tout ouvert de $C$ différent de $C$ est automatiquement affine.}
+non-vide (=dense) de $C$.  On appelle évidemment \textbf{constantes}
+les éléments de $k$ vus dans $k(C)$.
 
 On note aussi $k^{\alg}(C)$ le corps des fonctions rationnelles
 sur $C_{k^{\alg}}$, c'est-à-dire après passage à la clôture algébrique
@@ -3903,7 +3905,8 @@ Remarquons que $\ord_P(f)$ est le même que $f$ soit considéré comme
 vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité
 affirmée pour la fonction $\ord_P$).  Par ailleurs, pour $f \in k(C)$,
 on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$
-(le groupe de Galois absolu de $k$).
+(le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne
+dépend que de l'« orbite » de $P$ par $\Gal(k)$.
 
 \begin{prop}
 Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Alors toute fonction
@@ -3913,6 +3916,11 @@ en \ref{properties-valuation} est de la forme $\ord_P$ pour un certain
 $P \in C(k^{\alg})$.
 \end{prop}
 
+Les $\ord_P$ sont distinctes lorsque les points $P$ ne sont pas
+conjugués par Galois (cf. ci-dessus) : on va voir un résultat plus
+précis affirmant qu'elles sont, en fait, aussi indépendantes que
+possible (\ref{approximation-lemma} ci-dessous).
+
 \begin{prop}
 Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ :
 \begin{itemize}
@@ -3930,6 +3938,53 @@ connexe est constante
 (cf. \ref{projective-to-affine-morphisms-are-constant}).
 \end{proof}
 
+\begin{prop}[lemme d'approximation]\label{approximation-lemma}
+Soit $C$ une courbe sur un corps $k$ et $U$ un ouvert
+affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$.  Soient
+$Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre
+sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à
+deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont
+deux à deux distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et
+$v_1,\ldots,v_s \in \mathbb{Z}$.  Alors il existe $f \in k(C)$ telle
+que
+\[
+\begin{array}{cl}
+\ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\
+\ord_{P}(f) \geq 0&\hbox{~pour tout $P \in U \setminus \{\sigma(Q_i)\}$}\\
+\end{array}
+\]
+\end{prop}
+
+\emph{Moralité :} On peut toujours trouver une fonction $f$ qui
+approche les fonctions $f_i$ spécifiées à l'ordre $v_i$ spécifié aux
+points $Q_i$ spécifiés, et qui soit régulière à tout point de $U$ sauf
+évidemment ceux pour lesquels la condition imposée demande qu'ils ne
+le soient pas.
+
+\emph{Remarque :} Ce résultat recouvre l'existence des polynômes
+interpolateurs de Lagrange (pour $C = \mathbb{P}^1$ et $U =
+\mathbb{A}^1$, les $f_i$ des polynômes ayant les développements de
+Taylor souhaités aux ordres $v_i$, le résultat montre qu'il existe un
+polynôme $f$ ayant les développements spécifiés aux ordres spécifiés).
+
+\begin{proof}[Idée de démonstration]
+Pour $Q \in U$, si $\mathfrak{m}_{Q}$ désigne l'idéal des fonctions de
+$\mathcal{O}(U)$ s'annulant en $Q$, i.e., telles que $\ord_Q(h) \geq
+1$, le point clé est que $\mathfrak{m}_Q \neq \mathfrak{m}_{Q'}$ si
+$Q$ et $Q'$ ne sont pas conjugués par Galois, donc il existe une
+fonction $h \in \mathcal{O}(U)$ telle que $\ord_Q(h) \geq 1$ et
+$\ord_{Q'}(h) = 0$, et, quitte à diviser par une constante, autant
+supposer $h(Q') = 1$, et une autre $h'$ telle que $h'(Q) = 1$ et
+$\ord_{Q'}(h') \geq 1$.  Quitte à multiplier de telles fonctions entre
+elles et à les elever à des puissances assez grandes, on peut obtenir
+des $h_i$ telles que $h_i(Q_i) = 1$ et $\ord_{Q_j}(h_i) \geq
+\min(1,v_i)$ si $j\neq i$.  Lorsque les $f_i$ sont dans
+$\mathcal{O}(U)$, poser $f = \sum_i f_i h_i$ convient.  Sinon, on met
+les $f_i$ sur un même dénominateur et en cherchant $h$ comme une
+fraction sur le dénominateur en question on se ramène à un problème
+d'approximation sur le numérateur.
+\end{proof}
+
 
 
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cgit v1.2.3

