From 8ba1d462c94d3012eba285c291c2ddcfb25a1ae6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 10 Jun 2010 18:23:46 +0200
Subject: Try to clarify the distinction between geometric points and closed
 points.

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 notes-geoalg.tex | 34 ++++++++++++++++++++++++++++++----
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@@ -3845,6 +3845,31 @@ Plus généralement, tout morphisme d'un ouvert non-vide de $C$ vers une
 variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier.
 \end{prop}
 
+\bigbreak
+
+\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.} Quand on considère les points
+d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est
+parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément
+(qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois
+il est préférable de considérer ensemble tous les $k^{\alg}$-points
+qui s'envoie les uns sur les autres par l'action du groupe de Galois
+absolu $\Gal(k)$ de $k$, c'est-à-dire les « orbites galoisiennes » de
+points géométriques, qu'on appelle aussi \emph{points fermés}.  Par
+exemple, pour droite affine $\mathbb{A}^1$ réelle, les
+$\mathbb{C}$-points $i$ et $-i$ constituent collectivement un point
+fermé, défini par l'équation $t^2+1$.  L'intérêt des points fermés est
+qu'ils correspondent aux idéaux maximaux (sur $k$) pour une variété
+affine sur $k$ (exemple : l'idéal des polynômes réels s'annulant en
+$i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$,
+c'est l'idéal engendré par $t^2+1$).  On appelle \emph{degré} d'un
+point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est
+aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps
+résiduel $\mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine et
+$\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$.  Certains
+résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de degré $n$,
+d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant une orbite
+galoisienne).
+
 
 
 %
@@ -3907,7 +3932,8 @@ vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité
 affirmée pour la fonction $\ord_P$).  Par ailleurs, pour $f \in k(C)$,
 on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$
 (le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne
-dépend que de l'« orbite » de $P$ par $\Gal(k)$.
+dépend que de l'orbite de $P$ par $\Gal(k)$ (c'est-à-dire, du point
+fermé défini par $P$).
 
 \begin{prop}
 Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Alors toute fonction
@@ -3945,9 +3971,9 @@ affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$.  Soient
 $Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre
 sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à
 deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont
-deux à deux distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et
-$v_1,\ldots,v_s \in \mathbb{Z}$.  Alors il existe $f \in k(C)$ telle
-que
+deux à deux distincts, =définissant des points fermés deux à deux
+distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et $v_1,\ldots,v_s \in
+\mathbb{Z}$.  Alors il existe $f \in k(C)$ telle que
 \[
 \begin{array}{cl}
 \ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\
-- 
cgit v1.2.3

