From 974a7757f14fd90f866e522e5b2067933de5aa52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 31 May 2010 18:47:58 +0200
Subject: Tedious global description of morphisms of quasiprojective varieties.

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@@ -2435,6 +2435,41 @@ les dénomiateurs).
 
 \medbreak
 
+On peut également donner une description « globale » des morphismes,
+mais elle est peu maniable :
+\begin{itemize}
+\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal homogène de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$), un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ peut se
+  décrire comme une matrice rectangulaire avec $e+1$ colonnes (le
+  nombre de lignes n'étant pas spécifié) dont les entrées sont dans
+  $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ et (a) engendrent un idéal irrelevant dans cet
+  anneau, (b) sont toutes de même degré (ou si on préfère : toutes de
+  même degré sur chaque ligne), et (c) dont tous les mineurs $2\times
+  2$ s'annulent (cf. la définition de $\mathbb{P}^e(A)$ pour $A$ un
+  anneau).
+\item Si $X$ est un ouvert \emph{dense} de $Z(I)$ comme ci-dessus
+  (rappel : ceci est automatiquement le cas pour un ouvert non vide si
+  $I$ est premier donc $Z(I)$ irréductible), ce qu'on peut toujours
+  supposer, même description en remplaçant la condition (a) que les
+  entrées de la matrice engendrent un idéal irrelevant par celle que
+  les $D(f)$ correspondant recouvrent l'ouvert $X$ (pour un ouvert
+  strict, cela peut se traduire en disant que l'idéal engendré par les
+  éléments de la matrice engendrent un idéal dont le radical contient
+  l'idéal $I$).
+\item Un morphisme vers une variété projective $Y$ de $\mathbb{P}^e$
+  est un morphisme vers $\mathbb{P}^e$ comme ci-dessus avec la
+  condition supplémentaire que chaque ligne vérifie les équations
+  de $Y$.
+\item Enfin, pour un morphisme vers un ouvert d'une variété
+  projective, on demande en plus que tous les éléments obtenus en
+  appliquant une des équations de l'ouvert (i.e., un des générateurs
+  de $J'$ si l'ouvert est le complémentaire de $Z(J')$) à une des
+  lignes de la matrice engendre un idéal vérifiant la même condition
+  qu'en.
+\end{itemize}
+
+\medbreak
+
 \textbf{Exemples :}
 
 ¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu
-- 
cgit v1.2.3

