From 9fef7b91bfc29698b422293a89bbf5f0dfcb3169 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Sun, 23 May 2010 18:57:51 +0200
Subject: Introduction to gluing.

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@@ -1392,9 +1392,9 @@ $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est
 l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas.  Les $D(f)$ s'appellent parfois
 \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de
 les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts}
-(un ensemble d'ouverts est dit former une base d'ouverts pour une
-topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille
-d'entre eux).
+(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former
+une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une
+réunion d'une sous-famille d'entre eux).
 
 \begin{prop}\label{recouvrement-par-ouverts-principaux}
 Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$
@@ -1675,9 +1675,13 @@ De ce principe découlent :
 \begin{defn}
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine,
 l'anneau des fonctions régulières sur $D(f)$ sera par définition
-$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.  Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble
-$D(f)(A)$ des $A$-points de $D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$
-formé des $x \in X(A)$ tels que $f(x) \in A$ soit inversible.
+$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.  La \textbf{restriction} $h|_{D(f)}$
+d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$ sera par
+définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.
+
+Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de
+$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que
+$f(x) \in A$ soit inversible.
 
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et
 $Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera
@@ -1708,6 +1712,101 @@ morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to
 De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée !
 
 
+%
+\subsection{Introduction au recollement}
+
+La proposition suivante peut paraître innocente, mais elle est
+fondamentale :
+
+\begin{prop}
+Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$
+(c'est-à-dire, cf. \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux}, que les
+$f_i \in \mathcal{O}(X)$, qu'on pourra toujours supposer en nombre
+fini, engendrent l'idéal unité), alors :
+\begin{enumerate}
+\item si une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ a une
+  restriction $h|_{D(f_i)}$ nulle sur chacun des $D(f_i)$ alors $h$
+  est nulle,
+\item donnée une fonction régulière $h_i \in \mathcal{O}(D(f_i)) =
+  \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f_i}]$ pour chaque $i$, telles que
+  $h_i|_{D(f_i)\cap D(f_j)} = h_j|_{D(f_i)\cap D(f_j)}$ pour
+  chaque $i,j$ (autrement dit, les $h_i$ coïncident sur leurs
+  intersections ; on rappelle que $D(f_i) \cap D(f_j) = D(f_i f_j)$),
+  il existe une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$,
+  nécessairement unique d'après le point précédent, telle que
+  $h|_{D(f_i)} = h_i$ pour tout $i$.
+\end{enumerate}
+\end{prop}
+
+En clair : pour se donner une fonction régulière sur $X$, il suffit de
+se donner sa restriction à des ouverts principaux $D(f_i)$
+recouvrant $X$, et pour que de telles restrictions définissent bien
+une fonction régulière sur tout $X$, c'est-à-dire « se recollent », il
+suffit (comme il faut !) qu'elles soient cohérentes sur les
+intersections de deux d'entre eux.  On traduit ce fait en disant que
+la donnée des $\mathcal{O}(D(f))$ (y compris $\mathcal{O}(X)$
+lui-même) et des morphismes de restrictions entre eux forme un
+\textbf{faisceau} (sur la base d'ouverts formée des ouverts
+principaux).
+
+Ceci est la conséquence (reformulation) du résultat purement
+algébrique suivant :
+\begin{prop}
+Soit $R$ un anneau et $f_i \in R$ des éléments engendrant l'idéal
+unité.  Alors :
+\begin{enumerate}
+\item si $h \in R$ a une image $\iota_i(h)$ nulle dans chaque
+  $R[\frac{1}{f_i}]$ alors $h$ est nul,
+\item donnée un élément $h_i \in R[\frac{1}{f_i}]$ pour chaque $i$,
+  tels que $\iota_{i,j}(h_i) = \iota_{j,i}(h_j) \in R[\frac{1}{f_i
+      f_j}]$ pour chaque $i,j$ (où on identifie tacitement
+  $R[\frac{1}{f_i f_j}]$ à $R[\frac{1}{f_i}][\frac{1}{f_j}]$ et
+  $R[\frac{1}{f_j}][\frac{1}{f_i}]$), il existe un unique $h \in R$,
+  nécessairement unique d'après le point précédent, tel que
+  $\iota_i(h) = h_i \in R[\frac{1}{f_i}]$ pour tout $i$.
+\end{enumerate}
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration du premier point]
+Mettons $\sum g_i f_i = 1$ : on oublie tous les $f_i$ sauf le nombre
+fini d'entre eux qui intervient vraiment dans cette somme.  Dire que
+$h$ a une image nulle dans $R[\frac{1}{f_i}]$ signifie qu'il existe
+$N_i$ entier assez grand tel que $f_i^{N_i} h = 0$ ; en élevant
+l'équation $\sum g_i f_i$ à une puissance $N$ assez grande (par
+exemple $\sum N_i$), on peut s'arranger pour que chaque terme du
+développement fasse intervenir un certain $f_i$ à la puissance $N_i$
+au moins.  Ceci montre $(\sum g_i f_i)^N\, h = 0$.  Or $(\sum g_i
+f_i)^N = 1$, donc $h = 0$.
+\end{proof}
+\begin{proof}[Esquisse de démonstration du second point]
+On écrit $h_i = \frac{p_i}{f_i^{N_i}}$, et de nouveau, en élevant
+$\sum g_i f_i = 1$ à une puissance $N$ assez grande on peut s'arranger
+pour que chaque terme $t_{\cdots} = c_{\cdots} \prod_i f_i^{n_i}$
+fasse intervenir un des $f_i$ à une puissance $n_i$ au moins égale
+à $N_i$ ; on appelle $h$ la somme des $c_{\cdots} p_i f_i^{n_i-N_i}
+\prod_{j\neq i} f_j^{n_j}$ où le facteur $f_i^{N_i}$ correspondant a
+été remplacé par $p_i$ (ce qui vaut donc $t_{\cdots} h_i$ dans
+$R[\frac{1}{f_i}]$ --- on peut donc vérifier que $\iota_i(h) = h_i$).
+\end{proof}
+
+On peut de même fabriquer des morphismes par recollement :
+\begin{cor}
+Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$,
+alors se donner un morphisme $X \to Y$, pour $Y$ une variété
+algébrique affine quelconque, équivaut à se donner des morphismes
+$D(f_i) \to Y$ pour chaque $f_i$, qui coïncident sur les intersections
+$D(f_i) \cap D(f_j)$ (pour chaque $i,j$).
+\end{cor}
+
+Ceci est la clé pour définir les variétés algébriques non
+nécessairement affines, selon le principe général vague suivant :
+\begin{princ}
+Une variété algébrique non nécessairement affine $X$ est obtenue en
+« recollant » des variétés algébriques affines $X_i$ ; une fonction
+régulière sur $X$ est la donnée d'une fonction régulière sur chaque
+$X_i$ qui coïncident aux intersections.
+\end{princ}
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