From a3299d852e49a66078cf826544aaa0ac8addfda2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 11 Jun 2010 12:36:54 +0200
Subject: Fix arithmetic brokenness in various places.

---
 notes-geoalg.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------
 1 file changed, 38 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'notes-geoalg.tex')

diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index a43e760..d245760 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2413,7 +2413,7 @@ lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$.
 
 
 %
-\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes}
+\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes}\label{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms}
 
 Variété quasiprojective = ouvert d'une variété projective =
 intersection d'un ouvert et d'un fermé de $\mathbb{P}^d$.
@@ -3743,9 +3743,11 @@ c'est-à-dire $(x_1,\ldots,x_d) \mapsto (x_1,\ldots,x_d)$) de $Z(I)$.
 
 \begin{defn}
 On appelle \textbf{courbe (projective lisse)} sur un corps $k$ une
-variété algébrique projective lisse irréductible de dimension $1$
-sur $k$.  Lorsque la variété n'est pas supposée lisse, on parle de
-courbe « non nécessairement lisse ».
+variété algébrique projective lisse géométriquement
+irréductible\footnote{C'est-à-dire qu'elle est irréductible quand on
+  la voit sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.} de
+dimension $1$ sur $k$.  Lorsque la variété n'est pas supposée lisse,
+on parle de courbe « non nécessairement lisse ».
 \end{defn}
 
 Les fermés de Zariski d'une courbe qui ne sont pas la courbe tout
@@ -4585,11 +4587,18 @@ $1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K +
 $l(K-D) = 0$.
 \end{proof}
 
+\textbf{Remarque :} Si $C$ est une courbe sur un corps $k$, alors le
+genre de $C$ est égal au genre de $C_{k^{\alg}}$.  En effet, un
+diviseur canonique $K$ sur $C$ est encore un diviseur canonique quand
+on le voit sur $C_{k^{\alg}}$, et son degré, censé valoir $2g-2$ est
+le même qu'on le voie d'une façon ou d'une autre.  On dit que le genre
+est un \emph{invariant géométrique}.
+
 S'agissant de $\mathbb{P}^1$, on a vu que $\deg(K) = -2$ donc $g=0$.
 La réciproque est vraie :
 \begin{cor}
-Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ : alors $C$ est isomorphe
-à $\mathbb{P}^1$.
+Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ sur un corps algébriquement
+clos : alors $C$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$.
 \end{cor}
 \begin{proof}
 Soient $P,Q$ deux points distincts de $C$ : on applique Riemann-Roch
@@ -4603,6 +4612,29 @@ Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D
 isomorphisme (cf. \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}).
 \end{proof}
 
+\emph{Remarque :} Cette démonstration utilise le fait que $k$ est
+algébriquement clos pour pouvoir fabriquer le diviseur $(P)-(Q)$ comme
+différence de deux diviseurs de degré $1$.  En fait, on peut faire
+mieux : il suffit que $C(k)$ soit non-vide (démonstration : si $P \in
+C(k)$, Riemann-Roch appliqué au diviseur $(P)$ montre que $l((P)) =
+2$, donc il existe une fonction $f$ non-constante, admettant au plus
+un pôle simple en $P$, donc admettant effectivement un pôle simple
+en $P$ d'après \ref{basic-ord-facts}, et du coup $\divis(f)$, qui doit
+être de degré $0$, est de la forme $(P) - (Q)$, et le reste est comme
+ci-dessus).  On ne peut pas se dispenser de cette hypothèse $C(k) \neq
+\varnothing$ : si $C$ est la conique\footnote{En fait, on peut montrer
+  que toute courbe de genre $0$ peut s'écrire comme une conique
+  plane.} d'équation projective $t_0^2 + t_1^2 + t_2^2 = 0$ dans
+$\mathbb{P}^2$ sur les réels, qui a $C(\mathbb{R}) = \varnothing$,
+alors $C$ a pour genre $0$ car le genre est un invariant géométrique
+(cf. ci-dessus) et que, sur les complexes, cette conique est isomorphe
+au cercle (quitte à changer $t_0$ en $i t_0$) donc à $\mathbb{P}^1$
+(cf. introduction et exemples
+de \ref{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms}).
+Pourtant, $C$ \emph{n'est pas} isomorphe à $\mathbb{P}^1$ sur les
+réels, précisément parce que $C(\mathbb{R}) = \varnothing$ alors que
+$\mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \neq \varnothing$ !
+
 \begin{cor}
 Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout
 entier est affine.  (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte
-- 
cgit v1.2.3

