From a42533fd36c2c20ebdf54dabf78c04d200132b4d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 29 May 2010 02:51:16 +0200
Subject: Relation between affine and projective.

---
 notes-geoalg.tex | 97 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 92 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'notes-geoalg.tex')

diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index 54ad429..66c5e35 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2173,13 +2173,13 @@ certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$.
 %
 \subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif}
 
-On veut voir $D(x_0) = \{x_0\neq 0\}$ comme un espace
+On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace
 affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$).  On sait
 quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes
 sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme
-$\frac{x_1}{x_0},\ldots,\frac{x_d}{x_0}$.  De façon équivalente, il
-s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{x_0^\ell}$ avec
-$h \in k[x_0,\ldots,x_d]$ homogène de degré $\ell$.  Plus
+$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$.  De façon équivalente, il
+s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec
+$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$.  Plus
 généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$
 dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme
 les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$
@@ -2199,7 +2199,7 @@ algébriques\footnote{Ou encore : puisqu'une fonction régulière sur
   $k$-algèbre $A$, de façon compatible aux changements d'anneaux $A
   \to A'$, consiste à prendre la fonction constante valant un élément
   de $k$, toujours le même.} : notamment, si on recouvre
-$\mathbb{P}^d$ par les $d+1$ ouverts affines $D(x_i)$ (pour
+$\mathbb{P}^d$ par les $d+1$ ouverts affines $D(t_i)$ (pour
 $i=0,\ldots,d$), la seule façon de se donner une fonction régulière
 sur chacune qui coïncident aux intersections est d'avoir une constante
 (toujours la même) sur chaque ouvert.
@@ -2309,6 +2309,93 @@ généralement travailler \emph{localement}, c'est-à-dire, à partir des
 variétés affines dont la variété projective est la réunion.
 
 
+%
+\subsection{Le lien affine-projectif}
+
+On a déjà signalé que $\mathbb{P}^d$ est la réunion des $d+1$ ouverts
+$D(t_0),\ldots,D(t_d)$, qu'on veut considérer comme $d+1$ espaces
+affines, ou $d+1$ copies de l'espace affine $\mathbb{A}^d$.  Il faut
+considérer que les coordonnées affines sur $D(t_i)$ sont les
+$\frac{t_j}{t_i}$ avec $j\neq i$ (ce qui fait $d$ coordonnées).
+Notamment :
+\begin{itemize}
+\item Si $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène de degré $\ell$,
+  l'intersection de $Z(f) \subseteq \mathbb{P}^d$ avec $D(t_i)$ est
+  donnée par $Z(\frac{f}{t_i^\ell}) \subseteq \mathbb{A}^d$ en voyant
+  $\frac{f}{t_i^\ell}$ comme un polynôme en les $\frac{t_j}{t_i}$.
+\item Plus généralement, si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ est la
+  variété projective définie par un idéal homogène $I$ de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$, l'intersection de $X$ avec $D(t_i)$ est la
+  variété affine $Z(I_{t_i}) \subseteq \mathbb{A}^d$ où $I_{t_i}$ est
+  l'idéal engendré par les $\frac{f_j}{t_i^{\ell_j}}$ pour $f_j$
+  parcourant des générateurs homogènes de $I$ et $\ell_j = \deg f_j$
+  (l'idéai $I_{t_i}$ ne dépend pas du choix des $f_j$).
+\item Bon à savoir : si $I$ est un idéal homogène de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$, alors
+  $k[\frac{t_0}{t_i},\ldots,\frac{t_d}{t_i}]/I_{t_i}$, où $I_{t_i}$
+  est défini ci-dessus, est l'ensemble des éléments homogènes de degré
+  zéro de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$.  L'un ou
+  l'autre, donc, est vu comme l'ensemble des fonctions régulières sur
+  $Z(I) \cap D(t_i)$.
+\item Une fonction régulière sur $X = Z(I)$ est la donnée d'une
+  fonction régulière sur chaque $X \cap D(t_i)$ qui coïncident sur les
+  intersections.  C'est-à-dire : pour chaque $i$ on se donne un
+  élément $h_i$ de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$
+  homogène de degré zéro, tel que pour tous $i$ et $j$ les éléments
+  $h_i$ et $h_j$ correspondants coïcident dans
+  $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i \bar t_j}]$.  On note
+  $\mathcal{O}(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$.
+  Concrètement, si $k$ est algébriquement clos, on peut donc voir une
+  fonction régulière sur $X$ comme une fonction sur $X(k)$ (à valeurs
+  dans $k$) qui sur chaque ouvert affine $X \cap D(t_i)$ est une
+  fonction régulière sur cette variété, c'est-à-dire la restriction
+  d'une fonction polynomiale en les variables $\frac{t_j}{t_i}$
+  (pour $j\neq i$).  En fait, les seules fonctions régulières sur une
+  variété projective sont les fonctions constantes sur chaque
+  composante connexe (mais ce n'est pas évident).
+\item Une « section globale de $\mathcal{O}(\ell)$ sur $X$ » est la
+  donnée pour chaque $i$ d'un élément $h_i$ de
+  $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$ homogène de
+  degré $\ell$, tels que pour tous $i$ et $j$ les éléments $h_i$ et
+  $h_j$ correspondants coïcident dans
+  $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i \bar t_j}]$.  On note
+  $\mathcal{O}(\ell)(X)$ l'ensemble de ces sections : tout élément
+  homogène de degré $\ell$ de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ définit un élément
+  de $\mathcal{O}(\ell)(X)$ (mais il peut y en avoir d'autres, comme
+  on l'a signalé déjà pour $\ell=0$).
+\item On pourrait également définir les morphismes $X \to
+  \mathbb{P}^e$ (donc resp. aussi $X \to Y$ avec $Y$ variété
+  projective vue comme $Z(J)$ dans $\mathbb{P}^e$) selon ce procédé :
+  avec les notations précédentes, ce serait la donnée de $d+1$
+  morphismes $X \cap D(t_i) \to \mathbb{P}^e$ (resp. $X \cap D(t_i)
+  \to Y$) qui se recollent, or $X \cap D(t_i)$ est affine donc un
+  morphisme $X \cap D(t_i) \to \mathbb{P}^e$ est la même chose qu'un
+  élément de $\mathbb{P}^e(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$ où
+  $\mathcal{O}(X\cap D(t_i)) = (k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar
+      t_i}]$ comme on vient de l'expliquer (resp. un élément de
+  $Y(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$, c'est-à-dire un élément de
+  $\mathbb{P}^e(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$ qui vérifie les équations
+  de $Y$).  Ce n'est probablement pas la façon la plus simple de
+  procéder !
+\end{itemize}
+
+\medbreak
+
+Inversement, donnée une variété affine $X = Z(I)$ où $I$ est un idéal
+(radical...) de $k[\tau_1,\ldots,\tau_d]$, on peut définir une variété
+projective $X^+ = Z(I^+)$ dont l'idéal $I^+$ est engendré par les $f^+
+:= t_0^{\deg f} f(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}) \in
+k[t_0,\ldots,t_d]$ pour tous les $f\in I$ (c'est-à-dire les polynômes
+homogénéisés) : il s'agit précisément de l'adhérence de $X$
+dans $\mathbb{P}^d$.  Malheureusement, il ne suffit pas en général de
+prendre un ensemble de générateurs de $I$ pour que leurs homogénéisés
+engendrent $I^+$ (penser à $I = (\tau_2-\tau_1^2,\; \tau_3-\tau_1^3)$
+qui contient $\tau_3-\tau_1\tau_2$ alors que $(t_0 t_2 - t_1^2,\; t_0
+t_3 - t_1^3)$ ne contient pas $t_0 t_3-t_1 t_2$, il faut le mettre
+explicitement dans $I^+$).  Il y a cependant un cas favorable :
+lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$.
+
+
 
 %
 %
-- 
cgit v1.2.3

