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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 1 Jun 2010 02:32:10 +0200
Subject: Products of varieties, and the Segre embedding.

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@@ -2589,6 +2589,68 @@ x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$),
 donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$.
 
 
+%
+\subsection{Produit de variétés}
+
+Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur $k$, on veut que
+leur produit $X\times Y$ vérifie $(X\times Y)(A) = X(A) \times Y(A)$.
+
+Dans l'espace affine, c'est facile : si $X$ est défini par les
+équations $f_1,\ldots,f_r$ en les variables $x_1,\ldots,x_d$ et $Y$
+par les équations $g_1,\ldots,g_s$ en les variables $y_1,\ldots,y_e$,
+alors $X\times Y$ sera défini par les équations $f_1,\ldots,f_r,
+\penalty0 g_1,\ldots,g_s$ en les $d+e$ variables $x_1,\ldots,x_d,
+\penalty0 y_1,\ldots,y_e$.  En particulier, $\mathbb{A}^d \times
+\mathbb{A}^e = \mathbb{A}^{d+e}$.
+
+Pour l'espace projectif, c'est plus compliqué, il faut trouver moyen
+de recoller les morceaux : notamment,
+\underline{$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ n'est pas $\mathbb{P}^2$}
+(tous deux ressemblent à des complétés de $\mathbb{A}^2$, mais,
+moralement, $\mathbb{P}^2$ possède un point à l'infini dans chaque
+direction de droites parallèles, alors que
+$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ possède un point à l'infini
+$(x,\infty)$ différent pour chaque droite verticale, un $(\infty,y)$
+pour chaque droite horizontale, et un unique point à l'infini
+$(\infty,\infty)$ commun à toutes les autres droites).
+
+On définit\footnote{Façon de parler, puisque, justement, on ne sait
+  pas ce qu'est un produit.} un morphisme $\mathbb{P}^d \times
+\mathbb{P}^e \to \mathbb{P}^{de+d+e}$, dit \textbf{plongement de
+  Segre}, de la façon suivante :
+\[
+((x_0:\cdots:x_d),(y_0:\cdots:y_e)) \mapsto
+(x_0 y_0:x_0 y_1:\cdots:x_0 y_e:x_1 y_0:\cdots:x_d y_e)
+\]
+(faire tous les $(d+1)(e+1)$ produits possibles).  Ce morphisme arrive
+dans la variété projective $S$ dont les équations sont tous les
+mineurs $2\times 2$ de la matrice $(d+1)\times (e+1)$ des coordonnées
+homogènes sur $\mathbb{P}^{de+d+e}$.  Réciproquement, on a un
+morphisme $S \to \mathbb{P}^d$ donné par $(z_{00}:\cdots:z_{de})
+\mapsto (z_{0j}:\cdots:z_{dj})$ pour n'importe quel $j$ (en les
+considérant tous à la fois ceci se recolle et définit bien un
+morphisme), et de même $S \to \mathbb{P}^e$ par
+$(z_{00}:\cdots:z_{de}) \mapsto (z_{i0}:\cdots:z_{ie})$.  Sur un
+corps, au moins, ces deux morphismes définissent bien des bijections
+réciproques $\mathbb{P}^d(k) \times \mathbb{P}^e(k) \to S(k)$ et $S(k)
+\to \mathbb{P}^d(k) \times \mathbb{P}^e(k)$ (car l'annulation des
+mineurs $2\times 2$ traduit le fait que la matrice a rang $1$, donc
+qu'elle peut s'écrire comme le produit d'un vecteur ligne $(x_i)$ et
+d'un vecteur colonne $(y_j)$).  On prendra pour définition du produit
+$\mathbb{P}^d \times \mathbb{P}^e$ la variété projective $S$.
+
+(Exemple : le produit $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ se voit comme
+la surface d'équation $z_{00} z_{11} = z_{01} z_{10}$
+dans $\mathbb{P}^3$, c'est-à-dire un paraboloïde hyperbolique.)
+
+Plus généralement, si $X$ et $Y$ sont des variétés projectives dans
+$\mathbb{P}^d$ et $\mathbb{P}^e$, on peut définir $X\times Y$ comme un
+fermé dans $S$ : pour chaque équation $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$ de $X$,
+on met une équation $f(z_{0j},\ldots,z_{dj}) = 0$ pour chaque $j$, et
+de même pour chaque équation $g(y_0,\ldots,y_e) = 0$ de $Y$, on met
+une équation $g(z_{i0},\cdots,z_{ie}) = 0$ pour chaque $i$.
+
+
 
 %
 %
@@ -2596,8 +2658,6 @@ donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$.
 
 \section{TODO}
 
-Produit de variétés (après l'espace projectif, peut-être ?).
-
 Un peu de théorie de la dimension.  Un chouïa de calcul différentiel ?
 
 Crash-course de théorie de Galois.  Variétés sur un corps pas
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cgit v1.2.3

