From b4d5a07747fb78a1949452e054beebdbec76d555 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 4 Jun 2010 14:53:07 +0200
Subject: Some more explanations on the rational cubic in P^3.

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 notes-geoalg.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index baa3ebd..d0f1423 100644
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@@ -1136,7 +1136,7 @@ fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$.
 \end{rmk}
 
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-\subsection{Morphismes de variétés algébriques}
+\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{morphismes-varietes-algebriques-affines}
 
 On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
 dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
@@ -2933,6 +2933,65 @@ reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le
 dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible
 que prend la matrice des dérivés partielles).
 
+\medbreak
+
+\textbf{Un exemple : la cubique gauche.}  On reprend l'exemple étudié
+à plusieurs reprises de la cubique gauche, la variété $C$ définie dans
+$\mathbb{P}^3$ par $t_0 t_2 = t_1^2$, $t_1 t_3 = t_2^2$ et $t_0 t_3 =
+t_1 t_2$.  Sur l'ouvert affine $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$, ses équations
+deviennent (en posant $\tau_1 = t_1/t_0$, $\tau_2 = t_2/t_0$ et
+$\tau_3 = t_3/t_0$) : $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$
+(l'équation $\tau_1 \tau_3 = \tau_2^2$ est redondante) ; on peut en
+conclure que la dimension de cet ouvert affine $C \cap D(t_0)$ est au
+moins $3-2 = 1$, en fait il est visiblement isomorphe à $\mathbb{A}^1$
+via le morphisme $\tau \mapsto (\tau,\tau^2,\tau^3)$ considéré dans la
+section \ref{morphismes-varietes-algebriques-affines}.  (Attention, on
+ne peut pas conclure directement que la dimension de $C$ est $3$ à
+moins de donner une explication du fait que $C$ est irréductible.)
+Par symétrie des variables (remplacer $t_i$ par $t_{3-i}$ partout
+conserve les mêmes équations), on peut aussi conclure que $C \cap
+D(t_3)$ est de dimension $1$ (et isomorphe à $\mathbb{A}^1$).
+Remarquons par ailleurs que « si $t_0=0$ et $t_3=0$ alors $t_1=0$ et
+  $t_2=0$ aussi d'après les équations de $C$, ce qui n'est pas
+  possible » (plus précisément, l'idéal engendré par $t_0$ et $t_3$ et
+les équations de $C$ contient aussi $t_1^2$ et $t_2^2$, c'est donc un
+idéal irrelevant), ce qui permet de dire que les ovuerts $D(t_0)$ et
+$D(t_3)$ recouvrent $C$.  Donc $C$ est bien de dimension $1$.
+S'agissant de la lissité, le fait que $C \cap D(t_0)$ et $C\cap
+D(t_3)$ soient isomorphes à $\mathbb{A}^1$ permet de conclure (car
+$\mathbb{A}^1$ est lisse), mais on peut vouloir le voir sur les
+équations : sur $C \cap D(t_0)$, les dérivées partielles des deux
+équations $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$ sont $(2\tau_1,
+1, 0)$ et $(3\tau_1^2, 0, 1)$, donc linéairement indépendantes, ce qui
+assure que tout cet ouvert est lisse, et par symétrie des coordonnées,
+c'est aussi le cas pour $C \cap D(t_3)$.  On a donc bien affaire à une
+courbe (=variété (irréductible ?) de dimension $1$) lisse
+dans $\mathbb{P}^3$.
+
+Soit dit en passant, on ne peut pas omettre une des trois équations
+utilisées pour définir $C$ : si on omet $t_0 t_2 = t_1^2$, la variété
+ainsi obtenue contiendra toute la droite $\{(t_0:t_1:0:0)\}$
+d'équation $t_2=t_3=0$ (par exemple le point $(1:1:0:0)$), qui n'est
+pas dans $C$, si on omet $t_1 t_3 = t_2^2$ de même (par symétrie) avec
+la droite $\{(0:0:t_2:t_3)\}$ d'équation $t_0=t_1=0$ ; et si on omet
+$t_0 t_3 = t_1 t_2$, la variété contient toute la droite
+$\{(t_0:0:0:t_3)\}$ d'équation $t_1=t_2=0$ (par exemple le point
+$(1:0:0:1)$).  Il n'est en fait pas possible de définir $C$ avec
+seulement deux équations qui engendrent un idéal radical : en effet,
+premièrement, le polynôme de Hilbert-Samuel de $C$ vaut $3\ell+1$ (car
+il est facile de voir que les équations de $C$ réduisent deux monômes
+$t_0^{d_0} t_1^{d_1} t_2^{d_2} t_3^{d_3}$ exactement lorsqu'ils ont le
+même degré total $d_0+d_1+d_2+d_3$ et le même « degré sur $C$ », $d_1
++ 2d_2 + 3d_3$, donc on est ramené à compter les valeurs possibles de
+$d_1 + 2d_2 + 3d_3$ connaissant $d_0+d_1+d_2+d_3 = \ell$, et ce sont
+tous les entiers entre $0$ et $3\ell$ inclus) ; ceci confirme que la
+dimension de $C$ est $1$ mais aussi que son degré (au sens donné par
+le coefficient dominant du polynôme de Hilbert-Samuel) vaut $3$ : si
+$C$ était définie par deux équations $\mathfrak{I}(C) = (f_1,f_2)$,
+donc en intersection complète, on aurait $\deg f_1 \cdot \deg f_2 =
+3$, ce qui impose soit $\deg f_1 = 1$ soit $\deg f_2 = 3$, donc $C$
+serait une courbe plane, ce qui n'est visiblement pas le cas.
+
 
 
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cgit v1.2.3

