From d1dcbf30ddc167b6f8e6b01c42dc4607102efeec Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 1 Jun 2010 03:11:51 +0200
Subject: Introduction to dimension theory.

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 notes-geoalg.tex | 67 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -42,6 +42,7 @@
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
 \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
 \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
+\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
@@ -2657,6 +2658,72 @@ de même pour chaque équation $g(y_0,\ldots,y_e) = 0$ de $Y$, on met
 une équation $g(z_{i0},\cdots,z_{ie}) = 0$ pour chaque $i$.
 
 
+%
+\subsection{La dimension}
+
+\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on
+appelle \textbf{degré de transcendance} de $K$ sur $k$ et on note
+$\degtrans_k(K)$ le cardinal de n'importe quelle base de transcendance
+de $K$ sur $k$ (ensemble maximal d'éléments algébriquement
+indépendants de $K$) : il ne dépend pas du choix de celle-ci.
+
+\begin{defn}
+Si $X$ est une variété \emph{irréductible} sur $k$, on appelle
+\textbf{fonction rationnelle} sur $X$ une fonction régulière sur un
+ouvert non-vide=dense quelconque de $X$, en identifiant deux fonctions
+si elles coïncident sur l'intersection de leur domaine de définition ;
+on note $k(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$.  Lorsque
+$X$ est une variété affine irréductible, $k(X)$ est le corps des
+fractions (noté $k(X)$) de $\mathcal{O}(X)$ (=l'anneau des fonctions
+régulières sur $X$, qui est intègre).  De façon générale, $k(X)$
+coïncide avec $k(U)$ pour n'importe quel ouvert non-vide=dense $U$
+de $X$.
+
+On appelle \textbf{dimension de $X$} le degré de transcendance sur $k$
+de $k(X)$.
+\end{defn}
+
+Pour $\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$, le corps des fractions
+rationnelles est $k(t_1,\ldots,t_d)$ et
+$k(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0})$.  La dimension de
+$\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$ est donc $d$.  De façon générale,
+d'après ce qu'on vient de dire, la dimension d'une variété
+irréductible est égale à celle de n'importe lequel de ses ouverts
+non-vides.
+
+(Lorsque $X$ n'est pas irréductible, on appelle dimension de $X$ la
+plus grande dimension d'une composante irréductible de $X$.  Parfois
+on convient que la dimension du vide est $-1$.)
+
+\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]
+Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in
+\mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire
+$Z(f) \neq\varnothing$).  Alors chaque composante irréductible de
+$Z(f)$ est de dimension $d-1$.
+
+Variante projective : si $X$ est une variété irréductible de
+dimension $d$ dans $\mathbb{P}^e$ et $f$ homogène non constant (en
+$e+1$ variables).  Alors chaque composante irréductible de $X \cap
+Z(f)$ est de dimension $d-1$, \emph{et de plus $X \cap Z(f)$ n'est pas
+  vide} lorsque $d\geq 1$.
+\end{thm}
+
+\begin{cor}
+Si $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en $e+1$ variables,
+avec $r \leq e$, alors $Z(f_1,\ldots,f_r) \neq \varnothing$,
+c'est-à-dire que sur $k$ corps algébriquement clos, les $r$ équations
+$f_i=0$ ont une solution (non-nulle) commune.
+\end{cor}
+
+De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $d-r$.
+Il peut évidemment être de dimension plus grande (les $f_i$ pourraient
+être tous égaux, par exemple).  Lorsqu'il est exactement de dimension
+$d-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète}
+(projective, globale).  Lorsque c'est le cas, on peut être plus
+précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de
+$Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$.
+
+
 
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cgit v1.2.3

