From d466219aafb73796477ce80137d6adb758479f8c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 31 May 2010 19:09:58 +0200
Subject: Another example.  Details are sketchy.

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 notes-geoalg.tex | 22 ++++++++++++++++++++++
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index 80d4a7b..9a702d0 100644
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+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2512,6 +2512,28 @@ morphismes vers une variété quasiprojective quelconque, il suffit de
 la montrer sur un ouvert non vide quelconque (puisque cet ouvert est
 dense), et le calcul est alors simplifié.
 
+\smallbreak
+
+¶ Appelons maintenant $C^\sharp$ la variété d'équations $x_0 x_2 =
+x_1^2, \penalty-100\; x_1 x_3 = x_2^2, \penalty-100\; x_0 x_3 = x_1
+x_2$ dans $\mathbb{P}^3$ de coordonnées homogènes $(x_0:x_1:x_2:x_3)$,
+et considérons le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées homogènes $(t_0:t_1)$.
+On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^\sharp$ par $(t_0:t_1)
+\mapsto (t_0^3: t_0^2 t_1: t_0 t_1^2: t_1^3)$ : ceci définit bien un
+morphisme vers $\mathbb{P}^3$ car l'idéal engendré par $(t_0^3, t_0^2
+t_1, t_0 t_1^2, t_1^3)$ est irrelevant (ce sont tous les monômes de
+degré $3$ !), et il tombe bien dans $C^\sharp$ car $(t_0^3, t_0^2 t_1,
+t_0 t_1^2, t_1^3)$ vérifient les équations de $C^\sharp$.
+
+Réciproquement, définissons un morphisme $C^\sharp \to \mathbb{P}^1$ :
+il sera donné par les équations $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_0:x_1)$
+et $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_2:x_3)$.  Le fait que ces équations se
+recollent bien est assuré par l'équation $x_0 x_3 = x_1 x_2$
+sur $C^\sharp$ ; le morphisme est alors défini sur tout $C^\sharp$
+puisque $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ engendrent un idéal irrelevant.  De
+nouveau, on peut vérifier que la composée dans les deux sens est
+l'identité.
+
 
 
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cgit v1.2.3

