From e09c65950e4f5e5cb856c3ef444f7ea69a86b873 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 31 May 2010 19:07:51 +0200
Subject: Argue that the two morphisms defined in the examples are inverse to
 one another.

---
 notes-geoalg.tex | 20 ++++++++++++++++----
 1 file changed, 16 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'notes-geoalg.tex')

diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index c205bc0..80d4a7b 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2475,10 +2475,11 @@ mais elle est peu maniable :
 ¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu
 projectif.  Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation
 $x^2 + y^2 = z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans
-$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$, et soit le
-$\mathbb{P}^1$ de coordonnées $(t_0:t_1)$.  On définit un morphisme
-$\mathbb{P}^1 \to C^+$ par $(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 :
-t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien l'homogénéisation de $t \mapsto
+$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$ (sur un corps $k$ de
+caractéristique $\neq 2$), et soit le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées
+$(t_0:t_1)$.  On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ par
+$(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien
+l'homogénéisation de $t \mapsto
 (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$) : tout d'abord il est clair
 que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to
 \mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent
@@ -2500,6 +2501,17 @@ point $(z:x:y) = (1:1:0)$.  Le calcul qu'on vient de faire montre que
 $(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux
 équations se recollent bien en un unique morphisme.
 
+La composée des morphismes qu'on vient de définir est l'identité :
+dans le sens $\mathbb{P}^1 \to C^+ \to \mathbb{P}^1$, c'est clair car
+l'identité s'obtient bien en recollant $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0^2 :
+2t_0 t_1)$ et $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0 t_1 : 2t_1^2)$.  Dans le sens
+$C^+ \to \mathbb{P}^1 \to C^+$, on peut faire des calculs dans
+$k[x,y,z]/(x^2+y^2-z^2)$, mais le plus simple est sans doute de se
+dire que sur une variété irréductible, pour montrer l'égalité de deux
+morphismes vers une variété quasiprojective quelconque, il suffit de
+la montrer sur un ouvert non vide quelconque (puisque cet ouvert est
+dense), et le calcul est alors simplifié.
+
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

