From e5e28109246e23be10c5f39f26a48a58dacf01a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 24 May 2010 23:43:50 +0200
Subject: Regular functions on projective space, and start introducing the
 canonical sheaf.

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@@ -1998,11 +1998,13 @@ $(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la
 forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et
 collectivement, « hyperplan à l'infini »).  On peut donc écrire
 $\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion
-disjointe des points où $x_0 \neq 0$ et des points où $x_0 = 0$) ;
-moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert
-dans $\mathbb{P}^d$ et $\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire.
-Noter que le choix de $x_0$ est arbitraire : on peut voir
-$\mathbb{P}^d$ comme réunion de $d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$.
+disjointe de l'ensemble $Z(x_0)(k)$ des points où $x_0 \neq 0$ et de
+celui $D(x_0)(k)$ des points où $x_0 = 0$) ; moralement, on aura envie
+que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert dans $\mathbb{P}^d$ et
+$\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire.  Noter que le choix de
+$x_0$ est arbitraire : on peut voir $\mathbb{P}^d$ comme réunion de
+$d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$ (à savoir
+$D(x_0),\ldots,D(x_d)$).
 
 \smallbreak
 
@@ -2042,7 +2044,7 @@ un élément de $\mathbb{P}^d(A)$ qu'il est naturel de noter
 $(x_0:\cdots:x_d)$, à savoir, en utilisant la définition précédente
 $x_{ij} = y_i x_j$.  Sur certains anneaux particuliers (par exemple,
 tout anneau intègre factoriel, par exemple $k[t_1,\ldots,t_s]$, ou
-encore $\mathbb{Z}$), tout élément de $\mathbb{P}^n(A)$ peut, en fait,
+encore $\mathbb{Z}$), tout élément de $\mathbb{P}^d(A)$ peut, en fait,
 s'écrire sous cette forme, mais ce n'est pas vrai en général
 (quoiqu'il soit un peu difficile de donner un
 contre-exemple\footnote{En voici un : si $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$
@@ -2139,6 +2141,58 @@ Si $k$ est un corps algébriquement clos :
 \end{thm}
 
 
+%
+\subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif}
+
+On veut voir $D(x_0) = \{x_0\neq 0\}$ comme un espace
+affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$).  On sait
+quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes
+sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme
+$\frac{x_1}{x_0},\ldots,\frac{x_d}{x_0}$.  De façon équivalente, il
+s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{x_0^\ell}$ avec
+$h \in k[x_0,\ldots,x_d]$ homogène de degré $\ell$.  Plus
+généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$
+dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme
+les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$
+homogène de degré $rD$ (ce qui assure que (1) l'évaluation d'une telle
+fonction sur un élément de $\mathbb{P}^d(k)$ a un sens lorsque cet
+élément appartient à $D(f)$, et (2) elle ne dépend pas du représentant
+choisi).
+
+De façon peut-être surprenante, on en arrive donc à ce que les
+fonctions régulières sur $\mathbb{P}^d$ \emph{tout entier} sont
+uniquement les constantes.  De fait, on pourrait montrer que c'est
+inévitable avec les exigences qu'on a sur les variétés
+algébriques\footnote{Ou encore : puisqu'une fonction régulière sur
+  $\mathbb{P}^d$ est censée être la même chose qu'un morphisme
+  $\mathbb{P}^d \to \mathbb{A}^1$, la seule façon de définir une
+  application $\mathbb{P}^d(A) \to \mathbb{A}^1(A)$ pour toute
+  $k$-algèbre $A$, de façon compatible aux changements d'anneaux $A
+  \to A'$, consiste à prendre la fonction constante valant un élément
+  de $k$, toujours le même.} : notamment, si on recouvre
+$\mathbb{P}^d$ par les $d+1$ ouverts affines $D(x_i)$ (pour
+$i=0,\ldots,d$), la seule façon de se donner une fonction régulière
+sur chacune qui coïncident aux intersections est d'avoir une constante
+(toujours la même) sur chaque ouvert.
+
+Ceci ne constitue pas une contradiction (mais prouve que
+$\mathbb{P}^d$ ne saurait être affine).  Cependant, pour garder
+l'information des polynômes homogènes non constants, il est utile de
+définir aussi :
+\begin{defn}
+Si $\ell \in \mathbb{Z}$, une \textbf{section de $\mathcal{O}(\ell)$}
+sur $D(f)$ dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est un polynôme homogène de
+degré $D$) est, par définition, une fraction rationnelle de la forme
+$\frac{h}{f^r}$ avec $h$ homogène de degré $rD+\ell$.  (Quand $\ell =
+0$, il s'agit donc simplement d'une fonction régulière.)
+\end{defn}
+En particulier, les sections globales de $\mathcal{O}(\ell)$,
+c'est-à-dire, sur $\mathbb{P}^d$ tout entier, n'existent pas si
+$\ell<0$, et sont les polynômes homogènes de degré $\ell$ en
+$t_0,\ldots,t_d$ si $\ell \geq 0$ (pour $\ell=0$, il n'y a que les
+constantes).
+
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