From e60b36900e6c8097223e68cb3b98f4e1e0df7d18 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 20 May 2010 19:49:27 +0200
Subject: Principal open sets and how to view them as affine varieties.

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+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -32,6 +32,7 @@
 \newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque}
 \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie}
 \newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples}
+\newtheorem{princ}[comcnt]{Principe}
 \newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
 \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
 \newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
@@ -292,7 +293,7 @@ pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec
 $I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$).
 \end{lem}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{existence-ideaux-maximaux}
 Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
 un idéal maximal.
 \end{prop}
@@ -907,7 +908,7 @@ Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut.
 
 En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le
 cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) :
-\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]
+\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes}
 Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Tout idéal maximal
 $\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
 $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$
@@ -1201,6 +1202,10 @@ Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est
 pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la
 dernière est, de ce point de vue, la plus robuste.
 
+\emph{Remarque :} Un morphisme $X \to \mathbb{A}^1$ est la même chose
+qu'une fonction régulière sur $X$ (c'était le point de départ, mais il
+est bon d'insister là-dessus).
+
 \smallbreak
 
 \textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$,
@@ -1517,6 +1522,106 @@ fermé rencontrant $Z(x)$ et $Z(y)$ à la fois --- mais comme ceux-ci
 sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$
 et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(x,y)$.
 
+%
+\subsection{Structure de variété d'un ouvert principal}
+
+Pour l'instant, on n'a appelé « variété » qu'un fermé de Zariski.  On
+voudrait étendre le terme de sorte qu'au moins les \emph{ouverts} de
+Zariski deviennent des variétés.  Pour l'instant, on va regarder le
+cas d'un ouvert principal $D(f) = \{x : f(x) \neq 0\}$ : on souhaite
+définir, si possible en motivant intuitivement, ce que seront les
+fonctions régulières sur $D(f)$ et les morphismes depuis et
+vers $D(f)$.
+
+\smallbreak
+
+\textbf{Motivation.} Partons de l'exemple le plus simple : $U = D(t) =
+\{t : t\neq 0\}$, le complémentaire de l'origine dans $\mathbb{A}^1$.
+On sait qu'un morphisme $X \buildrel f\over\to \mathbb{A}^1$ (si $X$
+est une variété algébrique affine) est la même chose qu'une fonction
+régulière sur $X$, c'est-à-dire, un élément $f$ de $\mathcal{O}(X)$.
+Que doit être un morphisme $X \buildrel f\over\to U$ ?  Certainement
+on veut pouvoir le voir (en composant par l'inclusion $U \to
+\mathbb{A}^1$) comme une sorte particulière de morphismes $X \buildrel
+f\over\to \mathbb{A}^1$, donc de fonctions régulières sur $X$ :
+essentiellement, celles qui « évitent zéro » (ou « ne prennent pas la
+  valeur zéro »).  Or dire que $f(x) \neq 0$ pour tout $x \in X(k)$
+(pour $k$ algébriquement clos !) signifie $f \not\in \mathfrak{m}_x$
+pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}_x$ (on sait d'après les
+résultats autour du Nullstellensatz
+(cf. \ref{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes}) que tout idéal
+maximal de $\mathcal{O}(X)$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f :
+f(x) = 0\}$) ; or dire qu'un élément $f$ d'un anneau n'appartient à
+\emph{aucun} idéal maximal signifie qu'il n'appartient à aucun idéal
+strict (cf. \ref{existence-ideaux-maximaux}), donc que l'idéal qu'il
+engendre est l'idéal unité, c'est-à-dire que $f$ est
+\emph{inversible}.  \underline{Moralité :} les morphismes $X \to U$
+devraient être les éléments inversibles de $\mathcal{O}(X)$.
+
+A contrario, quels devraient être les fonctions régulières sur $U$ ?
+On veut au moins avoir l'inclusion $U \to \mathbb{A}^1$, qui
+déterminerait une fonction régulière $t$ sur $U$, et plus généralement
+tout élément de $k[t]$, comme il détermine un morphisme $\mathbb{A}^1
+\to \mathbb{A}^1$, devrait déterminer une fonction régulière sur $U$.
+Mais il y a plus : d'après ce qu'on a dit ci-dessus, si on souhaite
+que $U$ se comporte comme une variété algébrique affine, l'identité $U
+\to U$, c'est-à-dire l'élément $t$, devrait être un élément
+\emph{inversible} de $\mathcal{O}(U)$.  Il faut donc trouver une façon
+de rendre $t$ inversible : or on en a trouvé une, c'est la
+localisation.  On va donc poser $\mathcal{O}(U) = k[t][\frac{1}{t}] =:
+k[t,t^{-1}]$, l'anneau des fractions rationnelles de la forme
+$\frac{f}{t^s}$ avec $f \in k[t]$ et $s\in \mathbb{N}$.  Cet anneau
+est d'ailleurs isomorphe (via $t \mapsto x$ et $t^{-1} \mapsto y$) à
+$k[x,y]/(xy-1)$, l'anneau de l'hyperbole d'équation $xy=1$ : or il
+semble naturel de considérer $U$ (la droite privée d'un point) comme
+la projection $(x,y) \mapsto x$ de cette hyperbole $Z(xy-1)$.  Ceci
+est cohérent avec ce qu'on a décidé ci-dessus : les morphismes
+$k[t,t^{-1}] \to A$, pour toute $k$-algèbre $A$, s'identifient aux
+éléments inversibles de $A$.
+
+Toute cette motivation semble justifier d'identifier l'ouvert $U =
+D(t) = \{t : t\neq 0\}$ de $\mathbb{A}^1$ avec la variété algébrique
+affine $\Spec k[t,t^{-1}]$ associée à l'anneau $k[t,t{^-1}]$.
+
+Plus généralement, on part du :
+\begin{princ}
+Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, on
+considérera $D(f)$ lui-même comme la variété algébrique affine $\Spec
+\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$, associé à l'anneau
+$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ localisé de $\mathcal{O}(X)$
+inversant $f$.
+\end{princ}
+
+De ce principe découlent :
+\begin{defn}
+Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et
+$Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera
+identifié à la donnée d'un élément de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$
+ou d'un morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to
+\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ (c'est-à-dire, concrètement, si $Y$ est
+vu plongé comme un fermé de Zariski de $\mathbb{A}^e$, comme $e$
+éléments de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ vérifiant les équations
+de $Y$).
+
+Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et
+$X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera
+identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que $h^*(g)
+\in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de $h\colon X\to Y$ avec
+$g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y \to \mathbb{A}^1$)
+soit inversible.
+
+Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et
+si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, un
+morphisme $D(f) \to D(g)$ sera identifié à la donnée d'un élément $h$
+de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$ (ou d'un morphisme $h^* \colon
+\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ de $k$-algèbres) tel
+que $h^*(g)$ soit inversible, ou, ce qui revient encore au même, un
+morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to
+\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ de $k$-algèbres.
+\end{defn}
+
+De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée !
+
 
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