From f4ecab27413f1a2780d66743551689498704a673 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 10 Jun 2010 19:16:33 +0200
Subject: Divisors and the Picard group.

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 notes-geoalg.tex | 105 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
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+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -48,6 +48,8 @@
 \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
 \newcommand{\init}{\operatorname{in}}
 \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
+\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
@@ -4034,7 +4036,7 @@ $\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ sur $\kappa(P)$
 %
 \subsection{Morphismes entre courbes}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}
 Tout morphisme entre courbes non nécessairement lisses est soit
 constant ou surjectif.
 \end{prop}
@@ -4224,7 +4226,7 @@ cf. \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} \textit{in
   fine}).
 \end{prop}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{sum-of-ramification-degrees}
 Soit $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes
 sur $k$.  Pour tout point $Q$ de $C$, on a
 \[
@@ -4275,6 +4277,105 @@ ramification en un point $P$ de $C$ tel que $f(P) = 0$ est $e_P =
 
 
 
+%
+\subsection{Diviseurs sur une courbe}
+
+\begin{defn}
+Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps parfait $k$.  On appelle
+\textbf{diviseur} sur $C$ une combinaison linéaire formelle (finie)
+$\sum n_P (P)$, à coefficients dans $\mathbb{Z}$, de $k^{\alg}$-points
+de $C$, qui soit stable par l'action du groupe de Galois
+absolu $\Gal(k)$ (ou, si on préfère, une combinaison linéaire formelle
+de « points fermés » de $C$, chacun étant vu comme la somme d'une
+orbite galoisienne).
+
+On appelle \textbf{degré} du diviseur $\sum n_P (P)$ l'entier $\sum
+n_P$.
+\end{defn}
+
+Si $f \in k(C)$ n'est pas constant, on peut notamment considérer les diviseurs
+\[
+\begin{array}{c}
+f^*((0)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) > 0} \ord_P(f)\, (P)\\
+f^*((\infty)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\, (P)\\
+f^*((0)-(\infty)) = \divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)\\
+\end{array}
+\]
+appelés respectivement \textbf{diviseur des zéros}, \textbf{diviseur
+  des pôles} et \textbf{diviseur principal} définis par $f$
+(différence des deux premiers).  Le contenu du
+corollaire \ref{principal-divisors-have-degree-zero} est que ces
+diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$.
+
+Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non
+constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$,
+on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle
+\textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$
+par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini
+ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$
+sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$.
+On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en
+  avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme
+$h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$.
+
+\begin{prop}
+Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes,
+pour tout diviseur $D$ sur $C$ on a
+\[
+\begin{array}{c}
+h_* h^* D = (\deg h)\, D\\
+\end{array}
+\]
+\end{prop}
+\begin{proof}
+C'est une conséquence immédiate de \ref{sum-of-ramification-degrees}
+(et du fait qu'un morphisme non-constants entre courbes est
+surjectif !,
+cf. \ref{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}).
+\end{proof}
+
+\begin{defn}
+On appelle \textbf{principal} un diviseur (de degré zéro) de la forme
+$\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)$ pour une certaine
+fonction $f \in k(C)$ non constante.  Les diviseurs principaux forment
+un sous-groupe du groupe des diviseurs (car $\divis(fg) =
+\divis(f)+\divis(g)$, cf. \ref{properties-valuation}) : on dit que
+deux divieurs sont \textbf{linéairement équivalents} lorsque leur
+différence est un diviseur principal.  Le groupe des diviseurs
+(resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs principaux
+(=modulo équivalence linéaire) s'appelle \textbf{groupe de Picard}
+(resp. groupe de Picard de degré zéro) de la courbe $C$,
+noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
+\end{defn}
+
+\textbf{Exemple :} Sur $\mathbb{P}^1$, pour tout diviseur $\sum n_P
+(P)$ de degré zéro, on peut trouver une fraction rationnelle $\prod
+(t-P)^{n_P}$ qui a les ordres $n_P$ à ceux des points $P$ qui sont
+dans $\mathbb{A}^1$, et le degré à l'infini sera automatiquement le
+bon puisque $\sum n_P = 0$.  Ceci montre que \emph{tout diviseur de
+  degré zéro sur $\mathbb{P}^1$ est principal}, donc que
+$\Pic^0(\mathbb{P}^1) = 0$, et $\Pic(\mathbb{P}^1) = \mathbb{Z}$.
+
+On a un morphisme de degré $\deg\colon \Pic(C) \to \mathbb{Z}$, dont
+le noyau est $\Pic^0(C)$.  Si la courbe $C$ vérifie $C(k) \neq
+\varnothing$, c'est-à-dire qu'il existe $P$ un $k$-point sur $C$,
+alors tout diviseur peut s'écrire comme somme de $n (P)$ et d'un
+diviseur de degré zéro, et il est facile de voir que $\Pic(C) =
+\Pic^0(C) \oplus \mathbb{Z}$ (où $\mathbb{Z}$ désigne
+$\mathbb{Z}\cdot(P)$, le groupe des diviseurs de la forme $n (P)$).
+
+\emph{Attention :} Pour une fois, le slogan « rationnel = fixe par
+  Galois » n'est pas vérifié : quand $C$ est une courbe sur un corps
+$k$ parfait non algébriquement clos, il faut bien distinguer le groupe
+de Picard rationnel $\Pic C$ de $C$, c'est-à-dire les diviseurs
+stables par Galois modulos ceux de la forme $\divis(f)$ avec $f \in
+k(C)$, et le groupe de Picard fixé par Galois noté $(\Pic
+C_{k^{\alg}})^{\Gal(k)}$, c'est-à-dire les classes des diviseurs $D$
+tels que $\sigma(D)$ soit linéairement équivalent à $D$
+(sur $k^{\alg}$) pour tout $\sigma \in \Gal(k)$.
+
+
+
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cgit v1.2.3

