From f523fe96fe815099443bea4c1864fee1bff6f059 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Thu, 3 Jun 2010 19:08:21 +0200
Subject: Image of a morphism of quasiprojective varieties.

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@@ -2726,6 +2726,36 @@ précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de
 $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$.
 
 
+%
+\subsection{L'image d'un morphisme}
+
+Si $X \buildrel f\over\to Y$ est un morphisme entre variétés
+quasiprojectives et $Y' \subseteq Y$ un fermé ou un ouvert (ou
+l'intersection d'un fermé et d'un ouvert) dans $Y$, il est facile de
+définir l'\emph{image réciproque} de $Y'$ par $f$ : il suffit de
+« tirer » les équations de $Y'$ de $Y$ à $X$, c'est-à-dire écrire les
+équations $h\circ f = 0$ pour chaque équation $h = 0$ de $Y'$ (et
+pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert).
+
+Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus
+délicat.  Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$,
+et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si
+$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels
+qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
+
+\begin{thm}[Chevalley]
+\begin{itemize}
+\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
+  quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
+  il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
+  dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
+  telle que $Y'(k)$ soit l'ensemble des $y \in Y(k)$ pour lesquels il
+  existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+
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