From f6ee3fa8d1e7ecc923dbad04cf9d7646b713267f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 24 May 2010 22:59:16 +0200
Subject: Fix/improve points of projective space with values in a ring.

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@@ -2007,11 +2007,11 @@ $\mathbb{P}^d$ comme réunion de $d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$.
 \smallbreak
 
 Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^d(A)$ comme l'ensemble
-des classses d'équivalence de matrices $d\times d$ à coefficients
-dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que
+des classses d'équivalence de matrices $(d+1)\times (d+1)$ à
+coefficients dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que
 \[
 \begin{array}{c}
-\sum_{i=1}^d x_{ii} = 1\\
+\sum_{i=0}^d x_{ii} = 1\\
 (\forall i,i',j,j')\, x_{ij} x_{i'j'} = x_{ij'} x_{i'j}\\
 \end{array}
 \]
@@ -2035,10 +2035,29 @@ la somme des coefficients diagonaux vaut $1$ !) et elle représente un
 point de $\mathbb{P}^d(k)$ défini en premier.  Il est facile de
 vérifier que ces deux fonctions sont réciproques.
 
+\emph{Remarque :} Plus généralement, si $x_0,\ldots,x_d \in A$
+engendrent l'idéal unité de $A$ (ceci généralise $d$ éléments non tous
+nuls d'un corps !), disons $\sum_{i=0}^d y_i x_i = 1$, on peut définir
+un élément de $\mathbb{P}^d(A)$ qu'il est naturel de noter
+$(x_0:\cdots:x_d)$, à savoir, en utilisant la définition précédente
+$x_{ij} = y_i x_j$.  Sur certains anneaux particuliers (par exemple,
+tout anneau intègre factoriel, par exemple $k[t_1,\ldots,t_s]$, ou
+encore $\mathbb{Z}$), tout élément de $\mathbb{P}^n(A)$ peut, en fait,
+s'écrire sous cette forme, mais ce n'est pas vrai en général
+(quoiqu'il soit un peu difficile de donner un
+contre-exemple\footnote{En voici un : si $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$
+  est l'anneau des complexes de la forme $a+b\sqrt{-5}$ (ce sont des
+  entiers algébriques), la matrice $2\times 2$ dont la première ligne
+  est $(3,\;1+\sqrt{-5})$ et la seconde $(-1+\sqrt{-5},\;-2)$ est de
+  trace $1$ et déterminant nul, elle définit donc un point
+  de $\mathbb{P}^1(A)$ qu'il n'est pas possible d'exprimer sous la
+  forme $(x_0:\cdots:x_d)$ pour $x_0,\ldots,x_d \in A$ engendrant
+  l'idéal unité.}).
+
 
 %
 \subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$,
-  fonctions régulières}
+  Nullstellensatz projectif}
 
 On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins
 pour $k$ algébriquement clos pour le moment).  Il faudra une notion
@@ -2053,6 +2072,12 @@ ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de
 $(x_0:\cdots:x_d)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d)
 \in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ (il faudrait noter
 $Z_{\mathbb{P}^d}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire.
+Ceci signifie en fait $Z(f)(k)$ : pour $Z(f)(A)$, il faut le définir
+comme l'ensemble des matrices $(x_{ij})$ de $\mathbb{P}^d(A)$ comme
+précédemment telles que $f(x_{i0},\ldots,x_{id})=0$ pour tout $i$, et
+pour $D(f)(A)$ ce sera l'ensemble des matrices $(x_{ij})$
+de $\mathbb{P}^d(A)$ comme précédemment telles que les
+$f(x_{i0},\ldots,x_{id})$ engendrent l'idéal unité.
 
 On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f
 \in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré
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