From 09958e86fd6906a0f49bad0390fc8e9baa724731 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 17 May 2010 14:27:24 +0200
Subject: Clarifications and slight expansions.

---
 notes-mdi349.tex | 67 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 50 insertions(+), 17 deletions(-)

(limited to 'notes-mdi349.tex')

diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex
index d745931..a6f81f7 100644
--- a/notes-mdi349.tex
+++ b/notes-mdi349.tex
@@ -42,6 +42,9 @@
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
 \DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
 \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
 \newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
@@ -485,10 +488,15 @@ sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
 
 Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire
 qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B
-\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de
-$k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes
-d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant
-commuter le diagramme :
+\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ (ou bien
+$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{Alg}}(A,B)$ s'il y a
+ambiguïté\footnote{Par exemple pour bien distinguer de l'ensemble
+  $\Hom_{k\traitdunion\mathrm{Mod}}(A,B)$ des applications
+  $k$-linéaires, ou morphismes de $k$-modules, entre $A$ et $B$ vus
+  comme des $k$-modules.}) l'ensemble des morphismes de $k$-algèbres
+$A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes d'anneaux
+$A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant commuter
+le diagramme :
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[auto]
 \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
@@ -551,10 +559,19 @@ $k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B)
 \to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors
 $\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$.
 Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de
-$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$.
+$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour toute
+$k$-algèbre $A$.
+
+Dans l'autre sens : si $A,A'$ sont deux $k$-algèbres, et si pour toute
+$k$-algèbre $B$ on se donne une application $\alpha_B\colon
+\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ telle que $\alpha_{B'} \circ
+\Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ \alpha_B$, alors il existe un
+unique morphisme $\alpha\colon A'\to A$ de $k$-algèbres tel que
+$\alpha_B = \Hom_k(\alpha,B)$ pour toute $k$-algèbre $B$.
 \end{prop}
 \begin{proof}
-Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ !
+Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$, ou
+pour $\alpha$ l'image de l'identité $\id_A$ par $\alpha_A$.
 \end{proof}
 
 %
@@ -568,8 +585,14 @@ des éléments non nuls est une partie multiplicative.
 
 Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou
 $S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec
-$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie $a/s = a'/s'$ lorsqu'il existe
-$t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$.  L'addition est définie par
+$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie\footnote{Ce racourci de langage
+  signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur
+  $A\times S$ définie par $(a,s) \sim (a',s')$ lorsqu'il existe $t \in
+  S$ tel que $t(a's-as') = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$ le quotient
+  $(A\times S)/\sim$, et on note $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette
+  relation ; il faudrait encore vérifier que toutes les opérations
+  proposées ensuite sont bien définies.} $a/s = a'/s'$ lorsqu'il
+existe $t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$.  L'addition est définie par
 $(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par
 $-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') =
 (aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).  Cet anneau est muni d'un morphisme
@@ -592,21 +615,22 @@ naturel $A \to A[S^{-1}]$).
   l'idéal $J$ considéré.  Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$
   définit une injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$.
 \item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un
-  idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le
+  idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (né\-ces\-sai\-rement $J = I[S^{-1}]$ d'après le
   point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro
   dans $A/I$.
 \item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$
   définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et
   ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$.
 \item Si $A$ est une $k$-algèbre, $\Hom_k(A[S^{-1}],B)$ s'identifie,
-  via $\Hom_k(\iota,B)\colon \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to \Hom_k(A,B)$, au
-  sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes $\psi\colon A\to
-  B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour tout $s\in S$.
+  via $\Hom_k(\iota,B)\colon\penalty0 \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to
+  \Hom_k(A,B)$, au sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes
+  $\psi\colon A\to B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour
+  tout $s\in S$.
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
 Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S =
-A\setminus\mathfrak{p}$ est son complémentaire, on note
+A\setminus\mathfrak{p}$ est son com\-plé\-men\-taire, on note
 $A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal
 maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s
 \not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$
@@ -678,11 +702,14 @@ Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un
 ensemble $V(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0
 (\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (on devrait
 plutôt noter $V(\mathscr{F})(k)$ ou $V_k(\mathscr{F})$, surtout si $k$
-n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt).
+n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt).  Plus
+généralement, pour toute $k$-algèbre $A$, on définit
+$V(\mathscr{F})(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall
+f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$.
 
 Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors
 $V(\mathscr{F}) \supseteq V(\mathscr{F}')$ (la fonction $V$ est
-« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $V(\mathscr{F}) = \cap_{f\in
+« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $V(\mathscr{F}) = \bigcap_{f\in
   \mathscr{F}} V(f)$ (où $V(f)$ est un racourci de notation pour
 $V(\{f\})$).  Plus intéressant : si $I$ est l'idéal engendré par
 $\mathscr{F}$ alors $V(I) = V(\mathscr{F})$.  On peut donc se
@@ -737,6 +764,11 @@ qui est en particulier le cas lorsque $k$ est algébriquement clos), on
 a $\mathfrak{I}(k^d) = (0)$ (démonstration par récurrence sur $d$,
 laissée en exercice).
 
+\danger Sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, on a
+$\mathfrak{I}({\mathbb{F}_q}^d) \neq (0)$.  Par exemple, si $t$ est
+une des in\-dé\-ter\-mi\-nées, le polynôme $t^q-t$ s'annule en tout
+point de ${\mathbb{F}_q}^d$.
+
 \medbreak
 
 \textbf{Le rapport entre ces deux fonctions}
@@ -762,8 +794,9 @@ Avec les notations ci-dessus :
 \begin{itemize}
 \item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = V(\mathfrak{I}(E))$ si et
   seulement si elle est de la forme $V(\mathscr{F})$ pour un
-  certain $\mathscr{F}$, et dans ce cas on peut prendre $\mathscr{F} =
-  \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal radical.
+  certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas
+  on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal
+  radical.
 \item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I =
   \mathfrak{I}(V(I))$ si et seulement si elle est de la forme
   $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut
-- 
cgit v1.2.3

