From 1884dc8c332f69538976b4c3a68ae4170d8448c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 10 May 2010 18:23:44 +0200
Subject: Some prolegomena in commutative algebra.

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 notes-mdi349.tex | 236 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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+++ b/notes-mdi349.tex
@@ -16,6 +16,7 @@
 \usepackage{graphics}
 \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
 \usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
 %
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
@@ -32,12 +33,21 @@
 \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
 \newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
 \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
-\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
-\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
+\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
 %
 %
 \begin{document}
@@ -186,9 +196,227 @@ $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !)
 %
 %
 
-\section{TODO}
+\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}
+
+\subsection{Anneaux réduits, intègres}
+
+Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x =
+0$.  En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un
+certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}.
+
+Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique
+$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau).  En
+général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel
+que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}.
+
+Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ =
+élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$.  L'ensemble
+$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un
+\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$.  Un
+\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$.
+
+Un corps est un anneau intègre.  Un anneau intègre est un anneau
+réduit.
+
+\smallbreak
+
+Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq
+A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec
+$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit
+$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$).  Propriété
+équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$
+soit un corps.
+
+Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq
+A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in
+\mathfrak{p}$.  Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$
+tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre.
+
+Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel
+que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
+équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
+soit réduit.
+
+%
+\subsection{Modules}
+
+Un \textbf{module} $M$ sur un anneau $A$ est un groupe abélien muni
+d'une multiplication externe $A \times M \to M$ vérifiant :
+\begin{itemize}
+\item $a(x+y) = ax + ay$
+\item $1x = x$
+\item $(ab)x = a(bx)$
+\item $(a+b)x = ax + bx$
+\end{itemize}
+(Exercice : $a0 = 0$, $a(-x) = -(ax)$, $0x = x$, $(-a)x = -(ax)$...)
+
+Un \textbf{sous-module} $M'$ d'un module $M$ est un sous-groupe $M'$
+de $M$ tel que $ax \in M'$ dès que $x\in M'$ et $a\in A$.
+
+Tout anneau est un module sur lui-même de façon évidente.  Un
+sous-$A$-module de $A$ est la même chose qu'un idéal de $A$.  Si $B$
+est une $A$-algèbre, c'est-à-dire si on se donne un morphisme
+d'anneaux $A \buildrel\varphi\over\to B$, on peut voir $B$ comme un
+$A$-module (par $a\cdot b = \varphi(a)\,b$).
+
+Module de type fini = il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$
+d'éléments de $M$ qui engendre $M$ comme $A$-module, c'est-à-dire que
+tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in
+A$.
+
+Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille
+(non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire
+$\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$ tous nuls sauf un nombre
+fini et \emph{uniquement définis} (c'est-à-dire que $\sum_i a_i x_i =
+0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$).
 
-Prolégomènes d'algèbre commutative (localisation...).
+%
+\subsection{Anneaux noethériens}
+
+Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les
+proprités équivalentes suivantes :
+\begin{itemize}
+\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1
+  \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne
+  (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ;
+\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille
+  \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme idéal
+  (= comme $A$-module) (c'est-à-dire que tout $x \in I$ peut s'écrire
+  $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$) ;
+\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille
+  $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$
+  qui engendre le même idéal $I$ ;
+\item un sous-module d'un $A$-module de type fini est de type fini.
+\end{itemize}
+
+L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas,
+auxquels on aura affaire) sont noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est
+noethérien.  Tout corps est un anneau noethérien.  Tout quotient d'un
+anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un
+sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien).  Et
+surtout :
+\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
+Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
+une indéterminée sur $A$ est noethérien.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal.  Supposons par l'abusrde que $I$
+n'est psa de type fini.  On construit par récurrence une suite
+$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
+$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
+$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
+choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
+non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.
+
+Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $A$ est
+supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
+engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
+fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
+contradiction).
+
+On peut écrire $a_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
+ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
+de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
+construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
+  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
+et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
+degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
+à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
+de $f_m$.
+\end{proof}
+
+En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
+$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
+quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :
+
+\begin{defn}
+Une $A$-algèbre $B$ est dite \emph{de type fini} (comme $A$-algèbre)
+lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ tel que tout élément de $B$
+s'écrive $f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
+A[t_1,\ldots,t_d]$.
+\end{defn}
+
+\danger\textbf{Attention :} Cela ne signifie pas que $B$ soit de type
+fini comme $A$-module.  Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une
+$A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que
+$f$ serait de degré $1$.  (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de
+type fini, mais pas finie.)
+
+\begin{cor}
+Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier
+sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
+\end{cor}
+
+%
+\subsection{Notes sur les morphismes}
+
+Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire
+qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B
+\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de
+$k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes
+d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant
+commuter le diagramme :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
+A&&B\\&k&\\};
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\varphi_A$} (diag-1-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$\varphi_B$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\psi$} (diag-1-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Remarque : une $\mathbb{Z}$-algèbre est la même chose qu'un anneau, et
+un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux.
+
+\begin{prop}
+\begin{itemize}
+\item $\Hom_k(k,A)$ est un singleton pour toute $k$-algèbre $A$.
+\item $\Hom_k(k[t],A)$ est en bijection avec $A$ en envoyant
+  $\psi\colon k[t]\to A$ sur $\psi(t)$.
+\item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec
+  l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur
+  $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$).
+\item Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et
+  si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection
+  avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall
+  j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$).
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+\textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi
+peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ?
+
+Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application
+$\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto
+\beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la
+flèche !), on définit de même une application $\Hom_k(\alpha,B) \colon
+\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ par $\psi \mapsto \psi\circ\alpha$.  Ces
+applications $\Hom_k(A,\beta)$ et $\Hom_k(\alpha,B)$ commutent au sens
+où $\Hom_k(\alpha,B') \circ \Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ
+\Hom_k(\alpha,B) \penalty0\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B')$ (c'est
+trivial : composer $\psi$ à droite par $\alpha$ puis à gauche
+par $\beta$ revient à le composer à gauche par $\beta$ puis à droite
+par $\alpha$).  De façon à peine moins triviale :
+
+\begin{prop}[lemme de Yoneda]
+Soient $B,B'$ deux $k$-algèbres.  On suppose que pour toute
+$k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B)
+\to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors
+$\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$.
+Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de
+$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ !
+\end{proof}
+
+
+%
+%
+%
+
+\section{TODO}
 
 Crash-course de théorie de Galois.
 
-- 
cgit v1.2.3

