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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 11 May 2010 00:21:19 +0200
Subject: More miscellaneous additions.

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 notes-mdi349.tex | 73 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------
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@@ -67,11 +67,12 @@
 Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont
 commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).
 
-Si $k$ est un anneau, une \emph{$k$-algèbre} (là aussi : implicitement
-commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
-\buildrel\varphi\over\to A$.  On peut multiplier un élément de $A$ par
-un élément de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in
-k$ et $x\in A$).
+Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
+implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
+\buildrel\varphi\over\to A$ (appelé \emph{morphisme structural} de
+l'algèbre).  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément
+de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in
+A$).
 
 
 %
@@ -192,6 +193,10 @@ neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$.
 ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur
 $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !)
 
+\emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau
+$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le
+cercle $C(\mathbb{R})$.
+
 
 %
 %
@@ -245,7 +250,12 @@ intègre ssi son idéal $(0)$ est premier.  Un anneau est réduit ssi son
 idéal $(0)$ est radical.
 
 Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal.
-(En particulier, un corps est un anneau local.)
+(En particulier, un corps est un anneau local.)  Le quotient d'un
+anneau local par son idéal maximal s'appelle son \emph{corps
+  résiduel}.  \emph{Exercice :} l'anneau $A$ des rationnels de la
+forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b$ impair est un
+anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est formé des
+$\frac{a}{b}$ avec $a$ pair.  (Quel est le corps résiduel ?)
 
 \smallbreak
 
@@ -459,16 +469,29 @@ un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux.
 \item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec
   l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur
   $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$).
-\item Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et
-  si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection
-  avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall
-  j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$).
+\item Si $I$ est un idéal de $R$, alors $\Hom_k(R/I, A)$ est en
+  bijection avec le sous-ensemble de $\Hom_k(R,A)$ formé des
+  $\psi\colon R\to A$ qui s'annulent sur $I$ (la bijection envoyant
+  $\hat\psi \colon R/I \to A$ sur $\psi \colon R\to A$ composé de
+  $\hat\psi$ avec la surjection canonique $R \to R/I$).
+\item (En particulier,) si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de
+  $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors
+  $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d)
+  \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté
+  $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$).
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
+À titre d'exemple, dans l'introduction on avait posé $C(T) =
+\{(x,y)\in T^2 : x^2+y^2 = 1\}$ pour tout anneau $T$.  Un élément de
+$C(T)$ peut donc se voir comme un morphisme
+$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to T$.
+
 \textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi
 peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ?
 
+\smallbreak
+
 Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application
 $\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto
 \beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la
@@ -511,17 +534,22 @@ $-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') =
 (aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).  Cet anneau est muni d'un morphisme
 naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto
 a/1$.  On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie
-multiplicative $S$.
+multiplicative $S$.  Si $A$ est une $k$-algèbre (pour un certain
+anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente
+(en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme
+naturel $A \to A[S^{-1}]$).
 
 \begin{prop}
 \begin{itemize}
 \item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
   injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
+  (Extrême inverse : si $S$ contient $0$, alors $A[S^{-1}]$ est
+  l'anneau nul.)
 \item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] :=
-  \{a/s : a\in I, s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque dans $A$
-  (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de l'idéal
-  $J$ considéré.  Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ définit une
-  injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$.
+  \{a/s : a\in I,\penalty0 s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque
+  dans $A$ (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de
+  l'idéal $J$ considéré.  Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$
+  définit une injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$.
 \item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un
   idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le
   point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro
@@ -529,6 +557,10 @@ multiplicative $S$.
 \item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$
   définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et
   ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$.
+\item Si $A$ est une $k$-algèbre, $\Hom_k(A[S^{-1}],B)$ s'identifie,
+  via $\Hom_k(\iota,B)\colon \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to \Hom_k(A,B)$, au
+  sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes $\psi\colon A\to
+  B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour tout $s\in S$.
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
@@ -540,7 +572,16 @@ maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s
 \textbf{en} $\mathfrak{p}$.  Si $A$ est un anneau intègre et $S = A
 \setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
 $\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des
-  fractions} de $A$.
+  fractions} de $A$.  Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et
+$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps.
+
+Toute partie $\Sigma$ de $A$ engendre une partie multiplicative $S$
+(c'est l'intersection de toutes les parties multiplicatives
+contenant $\Sigma$, ou simplement l'ensemble de tous les produits
+possibles d'éléments de $\Sigma$) : on note généralement
+$A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$.  En particulier, lorsque $\Sigma$
+est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou
+$A[\frac{1}{\sigma}]$.
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

