From 90f2efbc21a520f11666f64cafd54f5a602f3c9f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 15 May 2010 01:51:43 +0200
Subject: The ring of a Zariski closed set.

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@@ -481,6 +481,7 @@ sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
 
 %
 \subsection{Notes sur les morphismes}
+\label{section-note-morphismes}
 
 Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire
 qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B
@@ -633,7 +634,7 @@ Lemme de Nakayama ?
 %
 %
 
-\section{Variétés algébriques affines sur un corps algébriquement clos}
+\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos}
 
 Pour le moment, $k$ est un corps, qui sera bientôt algébriquement
 clos.
@@ -769,7 +770,7 @@ Avec les notations ci-dessus :
   prendre $E = V(I)$, et $I$ est un idéal radical
   de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
 \item Les fonctions $\mathfrak{Z}$ et $V$ se restreignent en des
-  bijections décroissantes réciproques entre l'ensemble des parties
+  bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des parties
   $E$ de $k^d$ vérifiant le premier point ci-dessus et l'ensemble des
   idéaux radicaux $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifiant le second.
 \end{itemize}
@@ -874,6 +875,10 @@ V(\mathfrak{m})$, ce qui donne $\mathfrak{m} \subseteq
 $\mathfrak{m}$ ceci est en fait une égalité.
 \end{proof}
 
+En particulier, le corps quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$ est
+isomorphe à $k$, l'isomorphisme étant donnée par l'évaluation au point
+$(x_1,\ldots,x_d)$ tel que ci-dessus.
+
 \begin{thm}[Nullstellensatz = théorème des zéros de Hilbert]
 Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (toujours avec $k$ un corps
 algébriquement clos) : alors $\mathfrak{Z}(V(I)) = \surd I$ (le
@@ -895,15 +900,86 @@ k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$.
 \begin{scho}
 Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto
 V(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{Z}(E)$ définissent des bijections
-réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux
+réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux
 de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$
 d'autre part.
 
 Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons)
 de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
-$k[t_1,\ldots,t_d]$.
+$k[t_1,\ldots,t_d]$, et les \emph{fermés irréductibles} en
+correspondance avec les idéaux premiers.
 \end{scho}
 
+%
+\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski}
+
+Si $X$ est un fermé de Zariski dans $k^d$ avec $k$ algébriquement
+clos, on a vu qu'il existe un unique idéal radical $I$
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{Z}(X)$ des
+polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = V(I)$.  Le quotient
+$k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi
+$X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions
+  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$.
+
+Pourquoi fonctions régulières ?  On peut considérer un élément $f \in
+\mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si
+$\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$
+(modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde
+f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant
+$f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler
+$f(x)$ cette valeur.  Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I =
+(0)$), évidemment, $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+On définit un fermé de Zariski de $X$ comme un fermé de Zariski
+de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$.  La bonne nouvelle est
+que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et idéaux de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ se généralise presque mot pour mot à une
+correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux
+de $\mathcal{O}(X)$ :
+
+\begin{prop}
+Avec les notations ci-dessus :
+\begin{itemize}
+\item Tout fermé de Zariski de $X$ est de la forme $V(\mathscr{F}) :=
+  \{x\in X :\penalty0 {(\forall f\in \mathscr{F})}\penalty100\, f(x) =
+  0\}$ pour un certain ensemble $\mathscr{F}$ d'éléments
+  de $\mathcal{O}(X)$.
+\item En posant $\mathfrak{Z}(E) := \{f\in \mathcal{O}(X) :\penalty0
+  {(\forall x\in E)}\penalty100\, f(x)=0\}$, les fonctions $I \mapsto
+  V(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{Z}(E)$ définissent des bijections
+  réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux
+  radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de Zariski de
+  $X$ d'autre part : on a $\mathfrak{Z}(V(I)) = \surd I$ pour tout
+  idéal $I$ de $\mathcal{O}(X)$.
+\item Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les
+  singletons) de $X$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
+  $\mathcal{O}(X)$ (qui sont donc tous de la forme $\mathfrak{m}_x :=
+  \{f \in \mathcal{O}(X) : f(x)=0\}$ pour un $x\in X$) ; et les
+  \emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux
+  premiers.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+\begin{rmk}
+On a expliqué en \ref{section-note-morphismes} que les pour toute
+$k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des
+morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ peut être vu
+comme l'ensemble $V(I)(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0
+(\forall f \in I)\,f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des $d$-uplets
+$(x_1,\ldots,x_d)$ d'éléments de $A$ sur lesquels tout élément de $I$
+s'annule.  On notera aussi simplement $X(A)$ pour cet ensemble.
+
+En particulier, les points de $X$ peuvent être identifiés avec les
+éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$ (autrement dit, les
+morphismes $\mathcal{O}(X) \to k$ de $k$-algèbres), le point $x \in X$
+étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$ d'évaluation
+en $x$.  On peut donc noter $X(k)$ cet ensemble, et les appeler
+« $k$-points », pour insister.  La classification des idéaux maximaux
+de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que tout idéal maximal
+de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant
+en un $k$-point de $X$.
+\end{rmk}
+
 
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