From cebe8fb3d67f1364a6abb49eb2abda6d9e23c2b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 10 May 2010 19:33:56 +0200
Subject: More commutative algebra: more on prime ideals, localization, etc.

---
 notes-mdi349.tex | 121 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 121 insertions(+)

(limited to 'notes-mdi349.tex')

diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex
index b05507e..fd5cada 100644
--- a/notes-mdi349.tex
+++ b/notes-mdi349.tex
@@ -36,6 +36,7 @@
 \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
+\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
@@ -237,6 +238,77 @@ que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
 équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
 soit réduit.
 
+\smallbreak
+
+Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal.  Un anneau est
+intègre ssi son idéal $(0)$ est premier.  Un anneau est réduit ssi son
+idéal $(0)$ est radical.
+
+Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal.
+(En particulier, un corps est un anneau local.)
+
+\smallbreak
+
+On admet le résultat ensembliste suivant :
+\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]
+Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
+suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
+vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
+l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
+soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
+  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
+Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal
+pour l'inclusion (c'est-à-dire tel que $I \subseteq \mathfrak{M}$ pour
+tout $I \in \mathscr{F}$).
+\end{lem}
+
+\begin{prop}
+Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
+un idéal maximal.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le lemme de Zorn à
+$\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ contenant $I$.  Si
+$\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement ordonnée pour
+l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in \mathscr{T}}
+I$ en est encore un.  Le principe maximal de Hausdorff permet de
+conclure.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}
+Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
+c'est le plus petit idéal radical.  Cet idéal est précisément
+l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.  On l'appelle le
+\textbf{nilradical} de l'anneau.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors
+$(x+y)^{2n}=0$ en développant.  Il est inclus dans tout idéal radical,
+et il est visiblement lui-même radical : c'est donc le plus petit
+idéal radical.  Étant inclus dans tout idéal radical, il est \textit{a
+  fortiori} inclus dans tout idéal premier.  Reste à montrer que si
+$z$ est inclus dans tout idéal premier, alors $x$ est nilpotent.
+
+Supposons que $z$ n'est pas nilpotent.  Considérons $\mathfrak{p}$ un
+idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun
+$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
+(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
+Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
+voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
+chacun des idéaux $\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit
+rencontrer $\{z^n\}$, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux
+éléments de la forme $f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et
+$a,b\in A$, qui soient des puissances de $z$ ; leur produit est alors
+aussi une puissance de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc
+$abxy \not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
+dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
+\mathfrak{p}$.
+\end{proof}
+
+L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
+\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général,
+strictement plus grand que le nilradical.
+
 %
 \subsection{Modules}
 
@@ -411,6 +483,55 @@ $k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$.
 Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ !
 \end{proof}
 
+%
+\subsection{Localisation}
+
+On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative}
+lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$.  Par exemple, le
+complémentaire d'un idéal premier est, par définition,
+multiplicative ; en particulier, dans un anneau intègre, l'ensemble
+des éléments non nuls est une partie multiplicative.
+
+Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou
+$S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec
+$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie $a/s = a'/s'$ lorsqu'il existe
+$t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$.  L'addition est définie par
+$(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par
+$-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') =
+(aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).  Cet anneau est muni d'un morphisme
+naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto
+a/1$.  On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie
+multiplicative $S$.
+
+\begin{prop}
+\begin{itemize}
+\item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
+  injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
+\item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] :=
+  \{a/s : a\in I, s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque dans $A$
+  (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de l'idéal
+  $J$ considéré.  Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ définit une
+  injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$.
+\item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un
+  idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le
+  point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro
+  dans $A/I$.
+\item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$
+  définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et
+  ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S =
+A\setminus\mathfrak{p}$ est son complémentaire, on note
+$A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal
+maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s
+\not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$
+\textbf{en} $\mathfrak{p}$.  Si $A$ est un anneau intègre et $S = A
+\setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
+$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des
+  fractions} de $A$.
+
 
 %
 %
-- 
cgit v1.2.3

