From fe642ddd522fe5b1eb98bdc25a0c62bf39daff5a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 10 May 2010 23:46:38 +0200
Subject: Miscellaneous forgotten stuff.

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 notes-mdi349.tex | 12 +++++++++++-
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index fd5cada..744a7e9 100644
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+++ b/notes-mdi349.tex
@@ -162,7 +162,7 @@ tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une
   \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de
 montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut
 s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
-\in k$ (uniquement défini).
+\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$).
 
 \emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point
 $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le
@@ -305,6 +305,16 @@ dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
 \mathfrak{p}$.
 \end{proof}
 
+En appliquant ce résultat à $A/I$, on obtient :
+\begin{prop}
+Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
+tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
+c'est le plus petit idéal radical contenant $I$.  Cet idéal est
+précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.
+On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd
+I$.
+\end{prop}
+
 L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
 \textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général,
 strictement plus grand que le nilradical.
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cgit v1.2.3

