%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix} % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } \newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} \newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition} \newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme} \newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} \newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire} \newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque} \newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples} \newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} \newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} \newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % % % \begin{document} \title{\underline{Brouillon} de notes de cours\\de géométrie algébrique} \author{David A. Madore} \maketitle \centerline{\textbf{MDI349}} % % % \section*{Conventions} Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$). Si $k$ est un anneau, une \emph{$k$-algèbre} (là aussi : implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k \buildrel\varphi\over\to A$. On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$). % % % \section{Introduction / motivations} Qu'est-ce que la géométrie algébrique ? En condensé : \begin{itemize} \item\textbf{But :} Étudier les solutions de systèmes d'équations polynomiales dans un corps ou un anneau quelconque, ou des objets apparentés. (Étudier = étudier leur existence, les compter, les paramétrer, les relier, définir une structure dessus, etc.) \item\textbf{Géométrie :} Voir de tels systèmes d'équations comme des objets géo\-mé\-triques, soit plongés dans un espace ambiant (espace affine, espace projectif), soit intrinsèques ; leur appliquer des concepts de géométrie (espace tangent, étude locale de singularités, etc.). \item\textbf{Moyens :} L'étude locale de ces objets passe par les fonctions définies dessus, qui sont des anneaux tout à fait généraux, donc l'\emph{algèbre commutative} (étude des anneaux commutatifs et de leurs idéaux). \end{itemize} \smallbreak Problèmes \emph{géométriques} = étude de solutions sur des corps algébriquement clos (e.g., $\mathbb{C}$ : géométrie algébrique complexe ; $\bar{\mathbb{F}}_p$) ou « presque » (e.g., $\mathbb{R}$ : géométrie algébrique réelle). Problèmes \emph{arithmétiques} = sur des corps loin d'être algébriquement clos (e.g., $\mathbb{Q}$ : géométrie arithmétique), ou des anneaux plus gé\-né\-raux (e.g., $\mathbb{Z}$ : idem, « équations diophantiennes »). Applications : cryptographie et codage (géométrie sur $\mathbb{F}_q$), calcul formel, robotique (géométrie sur $\mathbb{R}$), analyse complexe (géométrie sur $\mathbb{C}$), théorie des nombres (sur $\mathbb{Q}$, corps de nombres...), etc. \smallbreak \textbf{Un exemple :} Pour tout anneau $k$, on définit $C(k) = \{(x,y)\in k^2 : x^2+y^2 = 1\}$. Interprétation géométrique : ceci est un cercle ! Il est plongé dans le « plan affine » $\mathbb{A}^2$ défini par $\mathbb{A}^2(k) = k^2$ pour tout anneau $k$. \begin{itemize} \item Sur $\mathbb{R}$, les solutions forment effectivement un cercle, au sens naïf. \item (Sur $\mathbb{C}$, les solutions dans $\mathbb{C}^2$ forment une surface, qui ressemblerait plutôt à une sphère privée de deux points.) \item Sur $\mathbb{F}_q$, on peut compter les solutions : on peut montrer qu'il y en a $q-1$ ou $q+1$ selon que $q \equiv 1\pmod{4}$ ou $q \equiv 3\pmod{4}$ (ou encore $q$ pour $q = 2^r$). \item Sur $\mathbb{Q}$, il n'est pas complètement évident de trouver des solutions autres que $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$. Un exemple : $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ (Pythagore, Euclide...). \end{itemize} Paramétrage des solutions : \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=3] \draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25); \draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15); \draw (0,0) circle (1cm); \draw (1,-1.15) -- (1,1.15); \coordinate (P) at (0.8,0.6); \coordinate (Q) at (1,0.6666666667); \draw (0.8,0) -- (P); \draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q); \fill[black,opacity=.5] (P) circle (.5pt); \fill[black,opacity=.5] (Q) circle (.5pt); \fill[black,opacity=.5] (-1,0) circle (.5pt); \node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$}; \node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$}; \node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$}; \end{tikzpicture} \end{center} Un petit calcul géométrique (cf. les formules exprimant $\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$), valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] = \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t \in k$ (uniquement défini). \emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le corps des fonctions rationnelles à une indéterminée sur $k$ ; (b) ceci permet, par exemple, de trouver de nombreuses solutions sur $\mathbb{Q}$, ou d'en trouver rapidement sur $\mathbb{F}_q$ ($q$ impair) ; (c) on a, en fait, défini un « morphisme » d'objets géométriques de la droite affine $\mathbb{A}^1$ vers le cercle $C$ (privé du point $(-1,0)$). On peut aussi définir une structure de \emph{groupe} (abélien) sur les points de $C(k)$ pour n'importe quel anneau $k$ : si $(x,y) \in C(k)$ et $(x',y') \in C(k)$, on définit leur composée $(x,y)\star (x',y') = (x'',y'')$ par \[ \left\{\begin{array}{c} x'' = xx'-yy'\\ y'' = xy'+yx'\\ \end{array}\right. \] (cf. les formules exprimant $\cos(\theta+\theta'),\sin(\theta+\theta')$ en fonction de $\cos\theta,\sin\theta$ et $\cos\theta',\sin\theta'$). Élément neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$. (Les fonctions trigonométriques, ``transcendantes'', servent à motiver ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !) % % % \section{Prolégomènes d'algèbre commutative} \subsection{Anneaux réduits, intègres} Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x = 0$. En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}. Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique $x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau). En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}. Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ = élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$. L'ensemble $A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un \emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$. Un \textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$. Un corps est un anneau intègre. Un anneau intègre est un anneau réduit. \smallbreak Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec $\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit $\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$). Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$ soit un corps. Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in \mathfrak{p}$. Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$ tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre. Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$. Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$ soit réduit. % \subsection{Modules} Un \textbf{module} $M$ sur un anneau $A$ est un groupe abélien muni d'une multiplication externe $A \times M \to M$ vérifiant : \begin{itemize} \item $a(x+y) = ax + ay$ \item $1x = x$ \item $(ab)x = a(bx)$ \item $(a+b)x = ax + bx$ \end{itemize} (Exercice : $a0 = 0$, $a(-x) = -(ax)$, $0x = x$, $(-a)x = -(ax)$...) Un \textbf{sous-module} $M'$ d'un module $M$ est un sous-groupe $M'$ de $M$ tel que $ax \in M'$ dès que $x\in M'$ et $a\in A$. Tout anneau est un module sur lui-même de façon évidente. Un sous-$A$-module de $A$ est la même chose qu'un idéal de $A$. Si $B$ est une $A$-algèbre, c'est-à-dire si on se donne un morphisme d'anneaux $A \buildrel\varphi\over\to B$, on peut voir $B$ comme un $A$-module (par $a\cdot b = \varphi(a)\,b$). Module de type fini = il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $M$ qui engendre $M$ comme $A$-module, c'est-à-dire que tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$. Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille (non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$ tous nuls sauf un nombre fini et \emph{uniquement définis} (c'est-à-dire que $\sum_i a_i x_i = 0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$). % \subsection{Anneaux noethériens} Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les proprités équivalentes suivantes : \begin{itemize} \item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ; \item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme idéal (= comme $A$-module) (c'est-à-dire que tout $x \in I$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$) ; \item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$ qui engendre le même idéal $I$ ; \item un sous-module d'un $A$-module de type fini est de type fini. \end{itemize} L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas, auxquels on aura affaire) sont noethériens. L'anneau $\mathbb{Z}$ est noethérien. Tout corps est un anneau noethérien. Tout quotient d'un anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien). Et surtout : \begin{prop}[théorème de la base de Hilbert] Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à une indéterminée sur $A$ est noethérien. \end{prop} \begin{proof} Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal. Supposons par l'abusrde que $I$ n'est psa de type fini. On construit par récurrence une suite $f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit. Si $f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal $(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$ non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$. Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$. Comme $A$ est supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$ engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$. Montrons qu'en fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une contradiction). On peut écrire $a_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$. Par ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers. On peut donc construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m - \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$, et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$. Alors, $f_m - g$ est de degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix de $f_m$. \end{proof} En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$. Comme un quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien : \begin{defn} Une $A$-algèbre $B$ est dite \emph{de type fini} (comme $A$-algèbre) lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ tel que tout élément de $B$ s'écrive $f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$. \end{defn} \danger\textbf{Attention :} Cela ne signifie pas que $B$ soit de type fini comme $A$-module. Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une $A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que $f$ serait de degré $1$. (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de type fini, mais pas finie.) \begin{cor} Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien. \end{cor} % \subsection{Notes sur les morphismes} Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B \colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de $k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant commuter le diagramme : \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{ A&&B\\&k&\\}; \draw[->] (diag-2-2) -- node{$\varphi_A$} (diag-1-1); \draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$\varphi_B$} (diag-1-3); \draw[->] (diag-1-1) -- node{$\psi$} (diag-1-3); \end{tikzpicture} \end{center} Remarque : une $\mathbb{Z}$-algèbre est la même chose qu'un anneau, et un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux. \begin{prop} \begin{itemize} \item $\Hom_k(k,A)$ est un singleton pour toute $k$-algèbre $A$. \item $\Hom_k(k[t],A)$ est en bijection avec $A$ en envoyant $\psi\colon k[t]\to A$ sur $\psi(t)$. \item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$). \item Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$). \end{itemize} \end{prop} \textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ? Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application $\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto \beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la flèche !), on définit de même une application $\Hom_k(\alpha,B) \colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ par $\psi \mapsto \psi\circ\alpha$. Ces applications $\Hom_k(A,\beta)$ et $\Hom_k(\alpha,B)$ commutent au sens où $\Hom_k(\alpha,B') \circ \Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ \Hom_k(\alpha,B) \penalty0\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B')$ (c'est trivial : composer $\psi$ à droite par $\alpha$ puis à gauche par $\beta$ revient à le composer à gauche par $\beta$ puis à droite par $\alpha$). De façon à peine moins triviale : \begin{prop}[lemme de Yoneda] Soient $B,B'$ deux $k$-algèbres. On suppose que pour toute $k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors $\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$. Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de $k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$. \end{prop} \begin{proof} Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ ! \end{proof} % % % \section{TODO} Crash-course de théorie de Galois. Géométrie algébrique affine facile (idéaux de $k[x_1,\ldots,x_n]$ avec $k$ alg\textsuperscript{t} clos, Nullsellensatz). Introduction à l'espace projectif. Un peu d'abstract nonsense. Bases de Gröbner. Courbes et corps de dimension $1$. % % % \end{document}