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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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\begin{document}
\ifcorrige
\title{MDI349\\Contrôle de connaissances --- Corrigé\\{\normalsize Géométrie algébrique}}
\else
\title{MDI349\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Géométrie algébrique}}
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\author{}
\date{2010}
\maketitle
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Dans ce qui suit, $k$ désigne un corps parfait de
caractéristique $\neq 2,3$ (on pourra, si on le souhaite, supposer
qu'il s'agit par exemple de $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
ou $\mathbb{C}$, cela n'aura pas d'incidence sur les questions).
\emph{La question 3 peut être traitée indépendamment des questions
précédentes.}
\textbf{1.} Dans l'anneau $k[x,y,z]$ des polynômes à trois
indéterminées sur $k$, on considère l'ordre lexicographique pur
${\preceq} = {\preceq}_{\mathtt{lex}}$ sur les monômes, qui ordonne
les variables dans l'ordre $x \prec y \prec z$. Écrire dans l'ordre
croissant, pour cet ordre, les monômes $1$, $x$, $y$, $z$, $x^2$,
$y^2$, $z^2$, $x^2 z$, $x^4$.
\textbf{2.} On considère dans l'anneau $k[x,y,z]$ l'idéal $I$ engendré
par les deux polynômes
\[
\begin{array}{c}
f_1 = x^2 + y^2 + z^2 - 1\\
f_2 = y^2 + (z-1)^2 - 1\\
\end{array}
\]
(Si on préfère, $I$ définit la variété algébrique $Z(I)$
dans $\mathbb{A}^3$ intersection de la sphère $Z(f_1)$ de centre
$(0,0,0)$ et de rayon $1$, et du cylindre $Z(f_2)$ d'axe $y=0,z=1$ et
de rayon $1$.)
(a) Soit $f_3 = f_1 - f_2$. Expliquer pourquoi l'idéal engendré par
$f_1$ et $f_3$ est le même que celui ($I$) engendré par $f_1$
et $f_2$. Quel est le reste (standard) de $f_3$ par rapport à
$f_1,f_2$ pour l'ordre monomial $\preceq$ ? Les polynômes $f_1,f_2$
sont-ils une base de Gröbner (de l'idéal $I$) ?
(b) Calculer le reste (standard) $f_4$ de $f_1 - \frac{1}{2} z f_3$
par rapport à $f_1,f_3$ pour l'ordre monomial $\preceq$. Expliquer
pourquoi l'idéal engendré par $f_3$ et $f_4$ est le même que celui
engendré par $f_1$ et $f_3$.
(c) Montrer qu'une base de Gröbner de $I$ pour l'ordre $\preceq$ est
donnée par
\[
\begin{array}{c}
z + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\\\noalign{\smallskip}
y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}\\
\end{array}
\]
S'agit-il d'une base de Gröbner réduite ?
(d) Quel est l'idéal $I \cap k[x,y]$ ? Donner l'équation de
l'adhérence de Zariski de la projection de la variété algébrique
affine $Z(I)$ sur le plan $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $x,y$.
\textbf{3.} On considère maintenant la variété $C$ définie dans le
plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $x,y$ par l'équation
$y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$.
(a) Ce plan affine $\mathbb{A}^2$ étant vu dans le plan projectif
$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y
= Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$
(« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$.
(b) Pourquoi $C$ et $C^+$ sont-elles de dimension $1$ ?
(c) Le polynôme $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a-t-il
des racines multiples dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$ ?
Pourquoi les racines en question peuvent-elles s'écrire
$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ (pour certains
$\lambda_1,\lambda_2 \in k^{\alg}$) ?
(d) Montrer que $C$ est lisse. Montrer que $C^+$ l'est aussi.
(e) Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction rationnelle
sur $C^+$ ? Quel est le diviseur de $dx$ ? Celui de $dx/y$ ? En
conclure quant au genre de $C^+$.
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\end{document}
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